Ecuación de Liénard
Esta páxina ou sección está a editarse nestes intres. Para evitar posibles conflitos de edición, non edites esta páxina ou sección mentres vexas esta mensaxe. Revisa o historial de edicións para saber quen traballa nela. O usuario Andresv.63 (conversa · contribucións) realizou a última edición na páxina hai 7 horas. O tempo máximo de presenza deste marcador é dun mes dende a última edición do usuario que o puxo; pasado ese tempo debe retirarse. |
A ecuación de Liénard é unha ecuación diferencial ordinaria estudada en profundidade polo físico Alfred-Marie Liénard no seu artigo de 1928[1]. Esta ecuación ten interese, dentro dos sistemas dinámicos, en problemas de circuítos eléctricos, acústica e no desenvolvemento da radio. Esta ecuación xeneraliza os osciladores lineais.
Para esta ecuación, Liénard encontrou condicións suficientes sobre as funcións coeficiente para garantir a existencia e unicidade de ciclo límite para os sistemas planos asociados. Este resultado, que recibe o nome de Teorema de Liénard, pódese aplicar, por exemplo, ao oscilador de Van der Pol.
Definición
editarDenomínase ecuación de Liénard a unha ecuación diferencial de segunda orde da forma
Teorema de Liénard
editarSexan dúas funcións de clase 1. Se se satisfan as seguintes condicións,
- A función é par e a función é impar,
- para todo non nulo,
- ten exactamente unha raíz positiva en , é negativa en , positiva e monótona crecente en e tal que ,
entón o sistema asociado á ecuación de Liénard ten un único ciclo límite que é asintóticamente estable.
Pódese consultar a demostración deste resultado en [2].
Aplicación ao oscilador de van der Pol
editarO oscilador de van der Pol segue unha ecuación da forma
Pódese comprobar que esta ecuación está nas condicións do Teorema de Liénard para calquera valor de positivo.
Notas
editar- ↑ Liénard, Alfred-Marie (1928). "Etude des oscillations entretenues". Revue Générale de l'Électricité 23: 901–912, 946–954.
- ↑ Simmons, George Finlay (1977). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. McGraw-Hill. ISBN 968-451-240-6.
Véxase tamén
editarLigazóns externas
editar- "Liénard equation". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
- LienardSystem at PlanetMath.