Corte de Dedekind

En matemáticas, un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado $E$ é un par ($A$, $B$) de subconxuntos de $E$, que forman unha partición de $E$, e onde todos os elementos de $A$ son menores que calquera elemento de $B$.

Un corte de Dedekind separa o conxunto de números racionais en dous subconxuntos: aqueles que teñen un cadrado menor que 2 e os que teñen cadrado maior que 2. Este corte pode identificarse co número irracional ${\sqrt {2}}$. O conxunto de cortes de Dedekind pódese usar para construír o conxunto de números reais a partir dos números racionais.

De certa maneira, este corte conceptualiza algo que estaría "entre" $A$ e $B$, pero que non ten por que ser un elemento de $E$.

Richard Dedekind introduciu os cortes de Dedekind como un medio para construír o conxunto dos números reais (presentando formalmente o que hai "entre" números racionais).

Definición

Un corte de Dedekind dun conxunto totalmente ordenado $E$ defínese por un par ($A$, $B$), onde $A\subset E$ e $B\subset E$, tal que:

1. $A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset$
2. $A\cap B=\emptyset$
3. $A\cup B=E$
4. $\forall x\in A,\forall y\in B,x<y$

Os puntos 1, 2 e 3 din que $A$ e $B$ constitúen unha partición de $E$. Polo tanto, a definición de corte determina completamente unha partición.

O punto 4 establece a partición dos elementos de $E$ nestas dúas partes. Pode demostrarse que este punto equivale a:

• $\forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)$ e
• $\forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)$.

Exemplos

Construción dos números reais

Se $E=\mathbb {Q}$, o conxunto de números racionais, pode considerarse o corte seguinte:

$A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a\leq 0\}$

$B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}$

Este corte permite representar o número irracional ${\sqrt {2}}$ que aquí se define tanto polo conxunto de números racionais que teñen cadrado máis pequeno que 2 como polo dos que teñen cadrado maior que 2.

A consideración de todos os cortes de Dedekind sobre $\mathbb {Q}$ permite unha construción do conxunto dos números reais $\mathbb {R}$.

Orde dos cortes de Dedekind

Sexan $(A,B)$ e $(C,D)$ dous cortes de Dedekind en $E$. Defínese unha orde no conxunto de cortes de Dedekind de $E$ establecendo:

$(A,B)<(C,D)\Leftrightarrow A\subset C$.

Pódese demostrar que o conxunto dos cortes de Dedekind $E$ provisto desta orde posúe a propiedade do elemento principal, aínda que $E$ non a posúa. Somerxendo $E$ neste conxunto, esténdese a un conxunto do cal todo subconxunto limitado superiormente posúe un supremo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número real
• Construción de números reais
• Sucesión de Cauchy