Corchete de Iverson

En matemáticas, o corchete de Iverson, que recibe o nome de Kenneth Iverson, é unha notación que devolve o número 1 se unha condición é verdadeira e 0 en caso contrario. Máis precisamente,

$[P]={\begin{cases}1&{\text{se }}P{\text{ é verdade,}}\\0&{\text{se non,}}\end{cases}}$

onde P é unha proposición que pode ser verdadeira ou falsa.

Uso

A notación é útil para expresións de sumas ou integrais sen condicións de contorno. Por exemplo

$\sum _{1\leq i\leq 10}i^{2}=\sum _{i}i^{2}[1\leq i\leq 10].$

Na primeira suma, o contador $i$ está limitado ao rango de 1 a 10. Na segunda suma, pode pasar por todos os números enteiros, mais cando é estritamente menor que 1 ou estritamente maior que 10, o termo correspondente da suma é cero, polo que non inflúe no total. Este uso de corchetes pode facilitar o manexo destas expresións.

Outro uso do corchete de Iverson é simplificar ecuacións con condicións especiais. Por exemplo, a fórmula

$\sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)$

(unha relación da teoría de números relacionada coa función totiente de Euler) que só se verifica para $n>1$ pódese escribir:

$\sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])$

que é válida para calquera número natural $n$.

Casos particulares

O símbolo de Kronecker é un caso particular da notación de Iverson cando a condición é unha igualdade. Temos:

$\delta _{ij}=[i=j].\,$

A función indicadora, outro caso particular, cando a condición é unha pertenza:

$\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].$

A función signo e a función paso de Heaviside tamén se poden expresar facilmente mediante esta notación:

$\operatorname {sgn}(x)=[x>0]-[x<0]\,$

$H(x)=[x>0]+{\frac {1}{2}}[x=0].$

As funcións chan e teito pódense expresar mediante:

$\lfloor x\rfloor =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n\leq x<n+1],$

$\lceil x\rceil =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n-1<x\leq n].$

E a tricotomía dunha orde total pódese expresar por :

$[a<b]+[a=b]+[a>b]=1.\,$

Véxase tamén

Outros artigos

Función indicadora.