Teorema de Brun-Titchmarsh

Na teoría analítica de números, o teorema de Brun-Titchmarsh, que recibe o nome de Viggo Brun e Edward Charles Titchmarsh, é un límite superior da distribución dos números primos en progresión aritmética.

Enunciado

Sexa $\pi (x;q,a)$ a función que conta o número de primos p congruentes cun módulo q con p ≤ x . Entón

$\pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}$

para todos os q < x .

Historia

O resultado probouse por métodos de cribo por Montgomery e Vaughan; un resultado anterior de Brun e Titchmarsh obtivo unha versión máis feble desta desigualdade cun factor multiplicativo adicional de $1+o(1)$.

Melloras

Se q é relativamente pequeno, por exemplo, $q\leq x^{9/20}$, daquela existe un límite mellor:

$\pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}$

Este resultado débese a Y. Motohashi (1973). Utilizou unha estrutura bilineal no termo de erro no cribo de Selberg, descuberta por el mesmo.

Comparación co teorema de Dirichlet

Pola contra, o teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas dá un resultado asintótico, que pode expresarse na forma

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$

pero só se pode demostrar que se cumpre para o rango máis restrinxido q < (log x ) ^c para a constante c: este é o teorema de Siegel-Walfisz .

Véxase tamén

Bibliografía

• Motohashi, Yoichi (1983). Sieve Methods and Prime Number Theory. Tata IFR and Springer-Verlag. ISBN 3-540-12281-8. 
• Hooley, Christopher (1976). Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. p. 10. ISBN 0-521-20915-3. 

• Montgomery, H.L.; Vaughan, R.C. (1973). The large sieve. Mathematika 20. pp. 119–134. doi:10.1112/s0025579300004708. hdl:2027.42/152543. .