Tensor tensión

En mecánica de medios continuos, o tensor tensión ou tensor de tensións é o tensor que dá conta da distribución de tensións e esforzos internos no medio continuo.

Compoñentes do tensor tensión nun punto P dun sólido deformable.

Tipos de tensor tensiónEditar

Tensor tensión de CauchyEditar

 
Representación gráfica das compoñentes do tensor tensión nunha base ortogonal.

O teorema de Cauchy sobre as tensións dun corpo, establece que dada unha distribución de tensións internas sobre a xeometría dun medio continuo deformado, que satisfaga as condicións do principio de Cauchy, existe un campo tensorial T simétrico definido sobre a xeometría deformada coas seguintes propiedades:

  1. .  
  2. .  
  3. .  

A terceira propiedade significa que este tensor virá dado sobre as coordenadas especificadas por unha matriz simétrica. Cabe sinalar que nun problema mecánico a priori é difícil coñecer o tensor tensión de Cauchy xa que este está definido sobre a xeometría do corpo unha vez deformado, e esta non é coñecida de antemán. Polo tanto previamente é necesario encontrar a forma deformada para coñecer exactamente o tensor de Cauchy. Mais, cando as deformacións son pequenas, en enxeñaría e aplicacións prácticas emprégase este tensor aínda que definido sobre as coordenadas do corpo sen deformar (o cal non conduce a errores de cálculo excesivo se todas as deformacións máximas son inferiores a 0,01).

Fixado un sistema de referencia ortogonal, o tensor tensión de Cauchy vén dado por unha matriz simétrica coas compoñentes:

 


A segunda forma é a forma común de chamar aos compoñentes do tensor tensión na enxeñaría.

Primeiro tensor tensión de Piola-KirchhoffEditar

Os tensores de Piola-Kirchhoff TR introdúcense para evitar a dificultade de ter que traballar cun tensor definido sobre a xeometría xa deformada (que normalmente non é coñecida previamente). A relación entre ambos tensores vén dada por:

 

Onde F é o tensor gradiente de deformación. Este tensor non obstante ten o problema de que non é simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

Segundo tensor tensión de Piola-KirchhoffEditar

Este tensor introdúcese para lograr un tensor definido sobre a xeometría previa á deformación e que ademais sexa simétrico, a diferenza do primeiro tensor de Piola-Kirchhoff que non ten por que ser simétrico. O segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff vén dado por:

 

NotasEditar

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar

BibliografíaEditar

  • R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.