Rombo áureo

En xeometría, un rombo áureo (tamén denominado rombo dourado ou rombo de ouro) caracterízase porque as súas diagonais están na proporción ${\frac {p}{q}}=\varphi \!$ , onde $\varphi \!$ é o número áureo.

Elementos

Os ángulos internos do rombo son

2\arctan {\frac {1}{\varphi }}=\arctan {2}\approx 63.43495

graos

2\arctan \varphi =\arctan {1}+\arctan {3}\approx 116.56505

graos, que tamén é o ángulo diedro do dodecaedro

A lonxitude do lado do rombo áureo con diagonal curta $q=1$ é

{\begin{array}{rcl}e&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\\&=&{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\\&\approx &0.95106\end{array}}

Un rombo áureo con lonxitude dos lados unidade, ten lonxitudes diagonais

{\begin{array}{rcl}p&=&{\frac {\varphi }{e}}\\&=&2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.70130\end{array}}

{\begin{array}{rcl}q&=&{\frac {1}{e}}\\&=&4{\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.05146\end{array}}

Poliedros

Varios poliedros notábeis teñen rombos áureos como caras, incluíndo:

Os dous romboedros áureos (con seis caras cada un)
O dodecaedro de Bilinski (con 12 caras)
O icosaedro rómbico (con 20 caras)
O triacontaedro rómbico (con 30 caras)
O hexacontaedro rómbico non convexo (con 60 caras)

O primeiros cinco destes son os únicos poliedros convexos con caras de rombos áureos, pero existen infinitos poliedros non convexos que teñen esta forma para todas as súas caras.

Véxase tamén

Outros artigos

Bibliografía

M. Livio, "A relación áurea: a historia de Phi, o número máis asombroso do mundo", Nova York: Broadway Books, p. 206, 2002.

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W. «Golden Rhombus». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Golden Rhombohedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.