Potenciación
A potenciación[1] é unha operación matemática escrita como an, na que interveñen dous números: a base a e o expoñente n. Cando n é un número natural maior que 1, a potencia an indica a multiplicación da base a por ela mesma tantas veces como indica o expoñente n, isto é,
da mesma forma que a multiplicación de n por a pode ser vista como unha suma de n sumandos iguais a a, ou sexa,
O expoñente é indicado á dereita da base, sobrescrito ou separado da base por un circunflexo. Pódese ler an como a elevado á n-ésima potencia, ou simplemente a elevado a n. Algúns expoñentes posúen nomes específicos: a2 acostuma ser lido como a elevado ao cadrado e a3 como a elevado ao cubo.
A potencia an tamén pode ser definida cando n é un enteiro negativo, se a é diferente de cero. Non existe unha extensión natural para todos os valores reais de a e n, a pesar de que cando a base é un número real positivo é posible definir an para todo número real n, e mesmo para números complexos a través da función exponencial ez. As funcións trigonométricas poden ser representadas en termos da potenciación complexa.
A potenciación tamén é usada noutras áreas, incluíndo economía, bioloxía, física e informática, con aplicacións como xuros compostos, crecemento da poboación, cinética química, comportamento de ondas e criptografía.
Definición
editarAs potencias son explicadas nunha serie de pasos matemática básica. Todos eses pasos baséanse na xeneralización das seguintes leis, que poden ser probadas facilmente para n e m enteiros positivos:
Expoñente zero
editarPara que
continúe valendo para n = 0, debemos ter:
Expoñentes enteiros negativos
editarPara que
- =
sexa válido para n + m = 0, é necesario que elevar un número (distinto de cero) á potencia -1 produza o seu inverso.
Entón ese cálculo resulta:
Elevar 0 a unha potencia negativa implicaría unha división por 0, quedando indefinida.
Un expoñente enteiro negativo tamén pode ser visto como unha división pola base. Logo:
Pódese probar que con esta definición continúa verificándose para
Expoñentes un e cero
editar- Calquera número elevado a "un" é igual a el mesmo.
- Calquera número (excepto o 0) elevado a 0 é igual a 1.
Indeterminacións
editarNa potenciación, é posible chegar ás formas de indeterminación seguintes:
- cando
Potencias cun expoñente que non altera o resultado
editarAs potencias de 0 son as potencias de base 0, dadas por n>0. A matemática considera indeterminado o valor da potencia: mais as outras potencias de base 0 con expoñente positivo teñen como resultado cero.
As potencias de 1 son as potencias de base 1, dadas por sendo n pertencente aos reais. Sen importar o valor de "n", será sempre 1.
Expoñentes fraccionarios
editarPara que a expresión
- =
sexa válida para números racionais, debemos ter:
- =
Ou, de forma xenérica, para calquera expoñente fraccionario, o denominador do expoñente é o índice da raíz e o numerados é o expoñente do radicando:
- =
Para que iso sexa válido independentemente da fracción usada no expoñente débese impor que x sexa un número positivo.
Expoñentes decimais
editarNo caso de expoñente decimal, debemos transformalo en fracción e despois en raíz:
Expoñentes irracionais
editarComo a potenciación ten a propiedade de que expoñentes próximos xeran resultados próximos, pódese definir a potenciación con expoñentes irracionais como:
Expoñentes imaxinarios e complexos
editarEuler divulgou a fórmula
que, coa forma equivalente xa era coñecida por Roger Cotes.
Así, usándose logaritmos, pódese definir para calquera a real e z complexo, z = x + i y:
Notas
editar- ↑ "Definición da RAG". Arquivado dende o orixinal o 22 de xullo de 2013. Consultado o 01 de xuño de 2014.