Polinomios de Bernoulli

En matemáticas os polinomios de Bernoulli $b_{n}(x)$ son definidos mediante unha función xeradora, tal como se expoñe a continuación:

${\frac {et^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$

Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli $b_{n}$ son os termos independentes dos polinomios correspondentes, $b_{n}=b_{n}(0)$.

A identidade $B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^{k}\,$ expoñe unha forma cerrada da suma.

$\sum _{i=1}^{n}{i^{k}}=1^{k}+2^{k}+\cdots +n^{k}={\frac {B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}}$

Expresión de polinomios de menor grao

$B_{0}(x)=1\,$

$B_{1}(x)=x-1/2\,$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}\,$ .

Véxase tamén

Outros artigos

• Número de Bernoulli

Bibliografía

• Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.

Ligazóns externas

• Polinomios de Bernoulli no sitio Mathworld (en inglés)

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---