Paradoxo de Russell

O paradoxo de Russell ou paradoxo do barbeiro, descrita por Bertrand Russell en 1901, demostra que a teoría orixinal de conxuntos formulada por Cantor e Frege é contraditoria.

O paradoxo en termos de conxuntos

Supoñamos os casos de conxuntos que son membros deles mesmos. Un exemplo descrito é o que supón un conxunto que consta de "ideas abstractas". O devandito conxunto é membro del mesmo porque o propio conxunto é unha idea abstracta. Outro exemplo sería unha bolsa con bolsas dentro. Doutra banda un conxunto que consta de "libros" non é membro de si mesmo porque o conxunto en si non é un libro. Russell preguntaba (nunha carta escrita a Frege en 1902), se o conxunto dos conxuntos que non forman parte deles mesmos (é dicir, aquel conxunto que engloba todos aqueles conxuntos que non están incluídos en si mesmos, como o de "libros" no exemplo anterior) forma parte de si mesmo. O paradoxo consiste en que se non forma parte de si mesmo, pertence ao tipo de conxuntos que non forman parte de si mesmos e por tanto forma parte de si mesmo. É dicir, formará parte de si mesmo só se non forma parte de si mesmo.

Enunciado formal do paradoxo

Chámese $M_{}^{}$ ao "conxunto de todos os conxuntos que non se conteñen a si mesmos como membros". É dicir

(1) $M=\{x:x\notin x\}$

Segundo a teoría de conxuntos de Cantor, a ecuación (1) pódese representar por

(2) $\forall x\qquad x\in M\iff x\notin x$

é dicir "Cada conxunto é elemento de $M$ se e só se non é elemento de si mesmo".

Agora, como $M$ é un conxunto, pódese substituír $x$ por $M$ na ecuación (2), de onde se obtén

(3) $M\in M\iff M\notin M$

É dicir que $M$ é un elemento de $M$ se e só se $M$ non é un elemento de $M$, o que é absurdo.

O paradoxo en termos do barbeiro

O paradoxo de Russell foi expresada en varios termos máis cotiáns. O máis coñecido é o paradoxo do barbeiro que se pode enunciar da seguinte maneira:

Nun afastado poboado dun antigo emirato había un barbeiro chamado As-Samet destro en afeitar cabezas e barbas, mestre en limpar pés e en pór sambesugas. Un día o emir deuse de conta da falta de barbeiros no emirato, e ordenou que os barbeiros só afeitasen aquelas persoas que non puidesen facelo por si mesmas. Certo día o emir chamou a As-Samet para que o afeitase e el contoulle as súas angustias: —Na miña vila son o único barbeiro. Non podo afeitar o barbeiro do lugar, que son eu!, xa que se o fago, entón podo afeitarme por min mesmo, e polo tanto non debería afeitarme! Pero, se pola contra non me afeito, entón algún barbeiro debería afeitarme, pero eu son o único barbeiro de alí! O emir pensou que os seus pensamentos eran tan profundos, que o premiou coa man da máis virtuosa das súas fillas. Así, o barbeiro As-Samet viviu para sempre feliz e barbán.

En lóxica de primeira orde, o paradoxo do barbeiro pódese expresar como:

(4) $\forall x\qquad \mathrm {afeita} (x,barbeiro)\iff \neg \mathrm {afeita} (x,x)$

Onde $\mathrm {afeita} (x,y)$ significa "$x$ é afeitado por $y$". O anterior leríase como "cada persoa é afeitada polo barbeiro se e só se non se afeita a ela mesma". É importante notar a semellanza entre as ecuacións (2) e (4). Ao substituír $x$ por $barbeiro$ obtense

(5) $\mathrm {afeita} (barbeiro,barbeiro)\iff \neg \mathrm {afeita} (barbeiro,barbeiro)$

É dicir que o barbeiro se afeita a si mesmo se e só se non se afeita a si mesmo, o cal é unha contradición.

Porén, Russell dubida sobre esta formulación, e el mesmo comentou "Nunha ocasión foime suxerida unha formulación que non era válida; a cuestión de se o barbeiro se afeita ou non a si mesmo. Vostedes poden definir o barbeiro como 'alguén que afeita a todos aqueles, e só aqueles, que non se afeitan a si mesmos'. A pregunta agora é: aféitase o barbeiro a si mesmo? Así formulada, a contradición non é moi difícil de resolver".

Explicación do paradoxo

Os conxuntos son reunións de cousas, por exemplo de coches, libros, persoas etc. e neste sentido chámanse conxuntos normais.

A característica principal dun conxunto normal é que non se contén a si mesmo. Pero tamén existen conxuntos de conxuntos, como $P(M)$, que é o conxunto de subconxuntos de $M$.

Un conxunto de conxuntos é normal salvo se podemos facer que se conteña a si mesmo. Isto último non é difícil se temos o conxunto de todas as cousas que NON son libros e como un conxunto non é un libro, o conxunto de todas as cousas que NON son libros formará parte do conxunto de todas as cousas que NON son libros. Estes conxuntos que se conteñen a si mesmos chámanse conxuntos singulares.

Está claro que un conxunto dado ou ben é normal ou ben é singular; non hai termo medio: ou se contén a si mesmo ou non se contén. Agora tomando o conxunto $C$ como o conxunto de todos os conxuntos normais. Que clase de conxunto é $C$? Normal ou Singular?

Se é normal, estará dentro do conxunto de conxuntos normais, que é $C$, logo xa non pode ser normal. Se é singular, non pode estar dentro do conxunto de conxuntos normais, logo non pode estar en $C$, pero se non pode estar en $C$ entón non é singular.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teoría de conxuntos
• Clase

Ligazóns externas

• Epsilones - Frege y la paradoja de Russell (en castelán)
• López Mateos, Manuel. Los conjuntos en Academia.edu (en castelán)