Notación de Einstein

En matemáticas, especialmente na álxebra linear, na física matemática e a xeometría diferencial, a notación de Einstein (tamén coñecida como convención de suma de Einstein ou convención de Einstein) é unha convención de notación que implica un sumatorio de termos indexados nunha fórmula, conseguindo así brevidade na escrita.

Como parte das matemáticas é un subconxunto da notación do cálculo de Ricci; porén, úsase a miúdo en aplicacións de física que non se distingue entre espazo tanxente e espazo cotanxente.

Foi introducido na física por Albert Einstein en 1916.^[1]

Introdución

Enunciado da convención

Segundo esta convención, cando un índice dunha variábel aparece dúas veces nun único termo da suma e non está definida doutro xeito (ver variábel libre e variábel vinculada), implica a suma dese termo sobre todos os valores do índice. Entón, por exemplo, se temos que os índices poden variar sobre o conxunto ${1, 2, 3}$ ,

y=\sum _{i=1}^{3}x^{i}e_{i}=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+x^{3}e_{3}

simplifícase polo convenio como:

y=x^{i}e_{i}

.

Isto pode lerse como $y$ igual a $x$ super $i$ por $e$ sub $i$ .

Os índices superiores non son expoñentes senón que son índices de coordenadas, coeficientes ou unha base. É dicir, neste contexto $x 2$ debería entenderse como o segundo compoñente de $x$ en lugar do cadrado de $x$ (isto pode ocasionalmente levar á ambigüidade). A posición superior do índice en $x i$ débese a que, normalmente, un índice aparece unha vez nunha posición superior (superíndice) e unha vez nunha posición inferior (subíndice) nun mesmo termo. (Consulte § Aplicación a continuación). Normalmente, $(x 1 x 2 x 3)$ sería equivalente ao tradicional $(x y z)$ .

Na relatividade xeral, unha convención común é que

o alfabeto grego úsase para os compoñentes do espazo e do tempo, onde os índices toman valores 0, 1, 2 ou 3 (as letras de uso frecuente son $μ, ν, ...$ ),
o alfabeto latino úsase só para compoñentes espaciais, onde os índices toman valores 1, 2 ou 3 (as letras de uso frecuente son $i, j, ...$ ),

En xeral, os índices poden variar en calquera conxunto de indexación, incluíndo un conxunto infinito. Isto non debe confundirse con outra convención tipográficamente similar usada para distinguir entre a notación de índice tensor e a notación de índice abstracta moi relacionada pero independente da base.

Un índice que se suma é un índice de suma, neste caso o " $i$ ". Tamén se lle chama variábel vinculada ou índice ficticio xa que calquera símbolo pode substituír o " $i$ " sen mudar o significado da expresión (sempre que non choque con outros símbolos de índice no mesmo termo).

Un índice que non se suma é unha variábel libre ou índice libre e só debe aparecer unha vez por termo. Se tal índice aparece, normalmente tamén aparece en calquera outro termo nunha ecuación. Un exemplo de índice libre é o " $i$ " na ecuación $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ , que é equivalente á ecuación ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ .

Aplicación

A notación de Einstein pódese aplicar de xeitos lixeiramente diferentes. Normalmente, cada índice aparece unha vez nunha posición superior (superíndice) e unha vez nunha posición inferior (subíndice) nun termo; porén, a convención pódese aplicar de forma máis xeral a calquera índice repetido dentro dun termo.^[2]

Cando se trata de vectores covariantes e contravariantes, onde a posición dun índice indica o tipo de vector, adoita aplicarse o primeiro caso; un vector covariante só se pode contraer cun vector contravariante correspondente á suma dos produtos dos coeficientes. Por outra banda, cando hai unha base de coordenadas fixa (ou cando non se consideran vectores de coordenadas), pódese optar por usar só subíndices; consulte § Superíndices e subíndices fronte a só subíndices a continuación.

Representacións vectoriais

Superíndices e subíndices fronte a só subíndices

En termos de covarianza e contravarianza de vectores,

os índices superiores representan compoñentes de vectores contravariantes (vectores),
os subíndices representan compoñentes de vectores covariantes (covectores).

Transfórmanse de forma contravariante ou covariante, respectivamente, en relación ao cambio de base.

En recoñecemento deste feito, a seguinte notación usa o mesmo símbolo tanto para un vector ou covector como para os seus compoñentes, como en:

{\begin{aligned}v=v^{i}e_{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

onde $v$ é o vector e $v^{i}$ son os seus compoñentes (non o $i$ -ésimo covector $v$ ), $w$ é o covector e $w_{i}$ son os seus compoñentes. Os elementos vectores da base $e_{i}$ son vectores de cada columna, e os elementos da base de covectores $e^{i}$ son covectores de cada fila. (Consulte tamén a continuación § Descrición abstracta. Tamén dualidade e os exemplos).

Na presenza dunha forma non dexenerada (un isomorfismo $V\rightarrow V^{*}$ , por exemplo unha métrica de Riemann ou métrica de Minkowski), pódense subir e baixar índices.

Cando se traballa en $R n$ cunha métrica euclidiana e unha base ortonormal fixa, temos a opción de traballar só con subíndices.

Porén, se mudan as coordenadas, a forma en que mudan os coeficientes depende da varianza do obxecto, e non se pode ignorar a distinción; ver Covarianza e contravarianza de vectores.

Repaso dos usos

No exemplo anterior, os vectores represéntanse como matrices $n \times 1$ (vectores columna), mentres que os covectores represéntanse como matrices $1 \times n$ (covectores fila).

Cando se usa a convención do vector columna:

Os covectores son vectores filas:

{\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.

Polo tanto o índice inferior indica en que "columna" estás.

Os vectores contravariantes son vectores columna:

{\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}

Polo tanto o índice superior indica en que fila estás.

Descrición abstracta

A virtude da notación de Einstein é que representa as cantidades invariantes cunha notación simple.

En física, un escalar é invariante baixo transformacións da base. En particular, un escalar de Lorentz é invariante baixo unha transformación de Lorentz. Os termos individuais da suma non o son. Cando se muda de base, os compoñentes dun vector mudan por unha transformación linear descrita por unha matriz. Isto levou a Einstein a propoñer a convención de que os índices repetidos implican que hai que facer a suma.

En canto aos covectores, mudan pola matriz inversa. Isto está deseñado para garantir que a función linear asociada ao covector, a suma anterior, sexa a mesma sen importar cal sexa a base.

O valor da convención de Einstein é que se aplica a outros espazos vectoriais construídos a partir de $V$ usando o produto tensorial e a dualidade. Por exemplo, $V\otimes V$ , o produto tensor de $V$ consigo mesmo, ten unha base formada por tensores da forma $\mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}$ . Calquera tensor $T$ en $V\otimes V$ pódese escribir como:

\mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.

$V^{*}$ , o dual de $V$ , ten unha base $e 1$ , $e 2$ , ..., $e n$ que obedece a regra

\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.

onde $δ$ é o delta de Kronecker (valor un cando coinciden os índices e cero no resto de casos).

Como

\operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W

as coordenadas da fila/columna nunha matriz corresponden aos índices superior/inferior do produto tensor.

Operacións comúns nesta notación

Na notación de Einstein, a referencia habitual do elemento $A_{mn}$ para a fila $m$ e a columna $n$ da matriz $A$ pasa a ser $A_{n}^{m}$ . Móstrase a continuación como escribir varias operacións frecuentes en notación de Einstein.

Produto interno

O produto interno de dous vectores é a suma dos produtos dos seus compoñentes do mesmo índice, cos índices dun vector baixados (ver #Subir e baixar índices):

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}

No caso dunha base ortonormal, temos $u^{j}=u_{j}$ , e a expresión simplifícase a:

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\sum _{j}u^{j}v^{j}=u_{j}v^{j}

Produto vectorial

En tres dimensións, o produto vectorial de dous vectores en relación a unha base ortonormal orientada positivamente, o que significa que $\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}$ , pódese expresar como:

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{jk}^{i}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}

Aquí, $\varepsilon _{jk}^{i}=\varepsilon _{ijk}$ é o símbolo de Levi-Civita. Dado que a base é ortonormal, subir o índice $i$ non altera o valor de $\varepsilon _{ijk}$ , cando se trata como tensor.

Multiplicación matriz-vector

O produto dunha matriz $A ij$ por un vector columna $v j$ é:

\mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}

equivalente a

u^{i}=A_{j}^{i}v^{j}

Este é un caso paticular de multiplicación matricial.

Multiplicación matricial

O produto matricial de dúas matrices $A ij$ e $B jk$ é:

\mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}

equivalente a

C_{k}^{i}=A_{j}^{i}B_{k}^{j}

.

Traza

Para unha matriz cadrada $A_{j}^{i}$ , a traza é a suma dos elementos diagonais, polo tanto, a suma sobre un índice común $A_{i}^{i}$ .

Produto exterior

O produto exterior do vector columna $u i$ polo vector fila $v j$ dá unha matriz $m \times n$ $A$ :

A_{j}^{i}=u^{i}v_{j}=(uv)_{j}^{i}

Dado que $i$ e $j$ representan dous índices diferentes, non hai sumatorio e os índices non se eliminan pola multiplicación.

Subir e baixar índices

Dado un tensor, pódense subir ou baixar un índice contraendo o tensor co tensor métrico, $g μν$ . Por exemplo, se temos o tensor $T α β$ , pódese baixar un índice: