Número irracional

Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante fraccións usando as operacións internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo, e isto os diferenza dos números racionais. Os máis célebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

π (pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
e ((secuencia A001113 na OEIS) = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...):

e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}

$\Phi$ (Número áureo): $={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$
Algúns logaritmos: $\log _{2}{3}$

Demostración

Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Para comprobalo podemos partir inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}

Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}

Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que $n^{2}\times 2=m^{2}$ , m sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

m^{2}=4k^{2}

Ou o que é o mesmo

2n^{2}=4k^{2}\rightarrow n^{2}=2k^{2}

Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que ${\sqrt {2}}$ non pode ser racional.

Tipos

Un número irracional pode ser alxébrico, é dicir, unha raíz real dun polinomio con coeficientes enteiros. Os que non son alxébricos son transcendentais.

Alxébrico

Os números alxébricos reais son as solucións reais de ecuacións polinómicas

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,

onde os coeficientes $a_{i}$ son números enteiros e $a_{n}\neq 0$ . Un exemplo de número alxébrico irracional é $x_{0}=(2^{1/2}+1)^{1/3}$ . É claramente alxébrico xa que é a raíz dun polinomio enteiro, $(x^{3}-1)^{2}=2$ , que é equivalente a $x^{6}-2x^{3}-1=0$ . Este polinomio non ten raíces racionais, xa que o teorema das raíces racionais mostra que as únicas posibilidades son ±1, pero x₀ é maior que 1. Así que x₀ é un número alxébrico irracional.

Transcendental

Os números transcendentais non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación $x^{2}-x-1=0$ , polo que non é un número transcendente. Pola contra, pi e e si son transcendentes.

Case todos os números irracionais son transcendentais. Exemplos son $e^{r}$ e mais $\pi ^{r}$ que son transcendentais para todos os $r$ racionais distintos de cero.

Como os números alxébricos forman un subcorpo dos números reais, pódense construír moitos números reais irracionais combinando números transcendentais e alxébricos. Por exemplo, $3\pi +2,\pi +{\sqrt {2}},e{\sqrt {3}}$ , son irracionais (e mesmo transcendentais).

Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que inclúen o conxunto dos irracionais.

Preguntas abertas

Varias combinacións de $e$ , $π$ e funcións elementais (como $e + π$ , $eπ$ , $e e$ , $π e$ , $π$ ^$π$, $ln π$ ) non se sabe se son irracionais, en parte porque non se sabe que $e$ e $π$ sexan alxebricamente independentes. A conxectura de Schanuel implicaría que todos os números anteriores son irracionais e mesmo transcendentes.^[1]
A pregunta sobre a irracionalidade da constante de Euler-Mascheroni $γ$ é un problema aberto de longa data na teoría dos números.^[2]
Outros números importantes que non se sabe que son irracionais son as constantes zeta impares $ζ (5), ζ ( 7), ζ (9), ...$ para $n > 3$ e a constante de Catalan $β (2)$ .^[3]

Notas

↑ Waldschmidt, Michel (2021). "Conxectura de Schanuel : independencia alxébrica dos números transcendentais" (PDF).
↑ Waldschmidt, Michel (2023). "Algúns dos problemas abertos máis famosos da teoría de números" (PDF).
↑ Waldschmidt, Michel (2022). "Transcendental Number Theory: recent results and open problems.". Michel Waldschmidt.

Véxase tamén

Outros artigos

[:12-1] Waldschmidt, Michel (2021). "Conxectura de Schanuel : independencia alxébrica dos números transcendentais" (PDF).

[2] Waldschmidt, Michel (2023). "Algúns dos problemas abertos máis famosos da teoría de números" (PDF).

[:4-3] Waldschmidt, Michel (2022). "Transcendental Number Theory: recent results and open problems.". Michel Waldschmidt.

[1]

[2]

[3]