Mudanza de base

En matemáticas, unha base ordenada dun espazo vectorial de dimensión $n$ permite representar de forma única calquera elemento do espazo vectorial mediante un vector de coordenadas, que é unha secuencia de $n$ escalares chamados coordenadas. Se se consideran dúas bases diferentes, o vector de coordenadas que representa un vector $v$ nunha base é, en xeral, diferente do vector de coordenadas que representa $v$ na outra base. Unha mudanza de base (ou cambio de base) consiste en converter cada expresión en termos de coordenadas relativas a unha base noutra expresión en termos de coordenadas relativas á outra base.^[1]^[2]^[3]

Un vector representado por dúas bases diferentes (frechas moradas e vermellas). Unha combinación linear dunha base de vectores (morado) obtén novos vectores (vermello). Se son linearmente independentes, estes forman unha nova base. As combinacións lineares que relacionan a primeira base coa outra forman unha transformación linear chamada mudanza de base.

Un mesmo vector representado por dúas bases diferentes (frechas moradas e vermellas).

Tal conversión resulta da fórmula de mudanza de base que expresa as coordenadas relativas a unha base en termos de coordenadas relativas á outra base. Usando matrices, pódese escribir esta fórmula

\mathbf {X} _{\mathrm {antiga} }=A\,\mathbf {X} _{\mathrm {nova} },

onde "antiga" e "nova" refírense respectivamente á base definida inicialmente e á outra base, $\mathbf {X} _{\mathrm {antiga} }$ e $\mathbf {X} _{\mathrm {nova} }$ son os vectores columna das coordenadas do mesmo vector nas dúas bases. $A$ é a matriz da mudanza de base (tamén chamada matriz de paso ou matriz de transformación), que é a matriz cuxas columnas son as coordenadas dos novos vectores base expresados na base antiga.

Unha mudanza de base ás veces chámase cambio de coordenadas, aínda que isto exclúe moitas transformacións de coordenadas. Para aplicacións en física e especialmente en mecánica, unha mudanza de base implica a miúdo a transformación dunha base ortonormal, entendida como unha rotación no espazo físico, excluíndo así as translacións.

Este artigo trata principalmente de espazos vectoriais de dimensión finita. No entanto, moitos dos principios tamén son válidos para espazos vectoriais de dimensión infinita.

Definición

Sexa K un corpo, E un K-espazo vectorial de dimensión finita n, e B, B' dúas bases de E.

A matriz $A$ , matriz de transformación de B a B', denotada como $\mathrm {P_{B}^{B'}}$ , é a matriz representativa da aplicación de identidade Id_E de E equipada coa base B' a E equipada coa base B:

$\mathrm {P_{B}^{B'}} ={\mathcal {M}}_{\mathrm {B} ',\mathrm {B} }(\mathrm {Id_{E}} )$ ^[4].

Noutras palabras:

se o mesmo vector de E ten como coordenadas as matrices de columna X en B e X' en B', entón $\mathrm {X} =\mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {X} '$ ^[4]

ou, equivalentemente:

$\mathrm {P_{B}^{B'}}$ é igual a ${\mathcal {M}}_{\mathrm {B} }(\mathrm {B} ')$ , é dicir, as súas columnas son as coordenadas dos vectores de B' expresadas na base B.

Por razóns mnemotécnicas, chamamos B' á nova base, B á base antiga. Observarase que nas dúas primeiras descricións dadas as bases aparecen na orde contraria á da terminoloxía. A terceira pódese detallar do seguinte xeito: se $\mathrm {B} =(e_{1},\ldots ,e_{n})$ e $\mathrm {B} '=(e'_{1},\ldots ,e'_{n})$ onde $e'_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}e_{i}$ para $j=1,\ldots ,n$ , entón

\mathrm {P_{B}^{B'}} =(a_{i,j})_{i,j=1}^{n}\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )

.

Cambio de coordenadas dun vector

Como xa se mencionou, se un vector de E ten coordenadas X e X' en dúas bases B e B', entón $\mathrm {X} =\mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {X} '$ .

Exemplos

Considere o espazo euclidiano ℝ³ equipado coa súa base canónica B(e₁, e₂, e₃), "base antiga" ortonormal directa.

Homotecia de factor k.

Homotecia

A nova base B'(e'₁, e'₂, e'₃) obtense mediante unha homotecia de factor k. Temos así:

e'₁ = k e₁;

e'₂ = k e₂;

e'₃ = k e₃.

A matriz de paso escríbese como

\mathrm {P_{B}^{B'}} ={\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\\\end{pmatrix}}

Sexa un vector x de compoñentes (X₁, X₂, X₃) en B e (X'₁, X'₂, X'₃) en B'. Temos:

{\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k\mathrm {X} '_{1}\\k\mathrm {X} '_{2}\\k\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}

Rotación dun ángulo α arredor de e₃.

Rotación da base

A nova base B'(e'₁, e'₂, e'₃) obtense mediante rotación por un ángulo α en torno ao eixo e₃. Temos así:

e'₁ = cos(α) e₁ + sin(α) e₂;

e'₂ = –sin(α) e₁ + cos(α) e₂;

e'₃ = e₃.

A matriz de paso escríbese como

\mathrm {P_{B}^{B'}} ={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}

Sexa un vector x de compoñentes (X₁, X₂, X₃) en B e (X'₁, X'₂, X'₃) en B'. Temos:

{\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\cos \alpha )\mathrm {X} '_{1}-(\sin \alpha )\mathrm {X} '_{2}\\(\sin \alpha )\mathrm {X} '_{1}+(\cos \alpha )\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}

Función definida nun espazo vectorial

Unha función que ten un espazo vectorial como dominio adoita especificarse como unha función multivariante cuxas variábeis son as coordenadas nalgunha base do vector sobre o que se aplica a función.

Cando se muda a base, múdase a expresión da función. Este cambio pódese calcular substituíndo as "vellas" coordenadas polas súas expresións en termos de "novas" coordenadas. Máis precisamente, se $f (x)$ é a expresión da función en termos das coordenadas antigas, e se $x = A y$ é a fórmula de cambio de base, entón $f (A y)$ é a expresión da mesma función en termos das novas coordenadas.

Mapas lineares

Considere un mapa linear $T : W \to V$ desde un espazo vectorial $W$ de dimensión $n$ ata un espazo vectorial $V$ de dimensión $m$ . Represéntase en bases "vellas" de $V$ e $W$ mediante unha matriz $m \times n$ $M$ . Un cambio de bases defínese por unha matriz de cambio de base $m \times m$ $P$ para $V$ , e unha matriz de cambio de base $n \times n$ $Q$ para $W$ .

Nas bases "novas", a matriz de $T$ é

P^{-1}MQ.

Esta é unha consecuencia directa da fórmula de mudanza de base.

Endomorfismos

Os endomorfismos son mapas lineares desde un espazo vectorial $V$ ata si mesmo. Para un cambio de base, aplícase a fórmula do apartado anterior, coa mesma matriz de cambio de base a ambos os dous lados da fórmula. É dicir, se $M$ é a matriz cadrada dun endomorfismo de $V$ sobre unha base "vella", e $P$ é unha matriz de cambio de base, entón a matriz do endomorfismo na base "nova" é

P^{-1}MP.

Como toda matriz invertíbel pode usarse como unha matriz de cambio de base, isto implica que dúas matrices son semellantes se e só se representan o mesmo endomorfismo en dúas bases diferentes.

Formas bilineares

Unha forma bilinear nun espazo vectorial V sobre un corpo $F$ é unha función $V \times V \to F$ que é linear en ambos os argumentos. É dicir, $B : V \times V \to F$ é bilinear se os mapas $v\mapsto B(v,w)$ e $v\mapsto B(w,v)$ son lineares para cada $w\in V$ fixo.

A matriz $B$ dunha forma bilinear $B$ nunha base $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (a base "vella" no que segue) é a matriz cuxa entrada da fila $i$ e columna $j$ é $B(v_{i},v_{j})$ . Dedúcese que se $v$ e $w$ son os vectores columna das coordenadas de dous vectores $v$ e $w$ , temos

B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,

onde $\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}$ denota a transposta da matriz $v$ .

Se $P$ é unha matriz de cambio de base, entón un cálculo sinxelo mostra que a matriz da forma bilinear na nova base é

P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.

Unha forma bilinear simétrica é unha forma bilinear $B$ tal que $B(v,w)=B(w,v)$ para todo $v$ e $w$ en $V$ . Dedúcese que a matriz de $B$ en calquera base é simétrica. Isto implica que a propiedade de ser unha matriz simétrica debe manterse mediante a fórmula de cambio de base anterior. Tamén se pode comprobar isto observando que a transposta dun produto matricial é o produto das transpostas calculadas na orde inversa. En particular,

(P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,

e os dous membros desta ecuación son iguais a $P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P$ se a matriz $B$ é simétrica.

Se a característica do corpo base $F$ non é dous, entón para cada forma bilinear simétrica hai unha base para a que a matriz é diagonal. A maiores, as entradas diferentes de cero resultantes na diagonal defínense ata a multiplicación por un cadrado. Así, se o corpo base é o corpo $\mathbb {R}$ dos números reais, estas entradas distintas de cero pódense escoller para que sexan $1$ ou $-1$ . A Lei da inercia de Sylvester é un teorema que afirma que a cantidade de números $1$ e $-1$ dependen só da forma bilinear, e non do cambio de base.

As formas bilineares simétricas sobre os reais atópanse a miúdo en xeometría e física, normalmente no estudo dos cuádricos e da inercia dun corpo ríxido. Nestes casos, as bases ortonormais son especialmente útiles; isto significa que en xeral se prefire restrinxir os cambios de base a aqueles que teñen unha matriz de cambio de base ortogonal, é dicir, unha matriz tal que $P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.$ Esas matrices teñen a propiedade fundamental de que a fórmula de cambio de base é a mesma para unha forma bilinear simétrica e o endomorfismo representado pola mesma matriz simétrica.

O Teorema espectral afirma que, dada unha matriz simétrica dese tipo, hai un cambio de base ortogonal tal que a matriz resultante (tanto da forma bilinear como do endomorfismo) é unha matriz diagonal cos valores propios da matriz inicial na diagonal. Dedúcese que, sobre os reais, se a matriz dun endomorfismo é simétrica, entón é diagonalizábel.

Notas

↑ Anton (1987, pp. 221–237)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 240–243)
↑ Nering (1970, pp. 50–52)
↑ ^4,0 ^4,1 Daniel Guinin; Bernard Joppin (2003). Bréal, ed. Algèbre et géométrie PCSI. p. 356. .

Véxase tamén

Bibliografía

Anton, Howard (1987). Elementary Linear Algebra (5th ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-84819-0.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields. Boston: Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-14017-X.
Nering, Evar D. (1970). Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.). New York: Wiley. LCCN 76091646.

Outros artigos

Transformación activa e pasiva
Covarianza e contravarianza de vectores
Transformada integral, o análogo continuo da mudanza de base.
Pesos de Chirgwin-Coulson; aplicación en química computacional

Ligazóns externas

MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis, de MIT OpenCourseWare
Khan Academy Lecture on Change of Basis, de Khan Academy

[1] Anton (1987, pp. 221–237)

[2] Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 240–243)

[3] Nering (1970, pp. 50–52)

[GuininJoppin-4] 4,0 ^4,1 Daniel Guinin; Bernard Joppin (2003). Bréal, ed. Algèbre et géométrie PCSI. p. 356. .

[1]

[2]

[3]

[4]