Madhava de Sangamagrama

Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri, coñecido como Mādhava de Sangamagrāma, nado no reino de Cochim arredor de 1340 e finado arredor de 1425, foi un matemático e astrónomo indio, posiblemnte da cidade de Kallettumkara, Aloor Panchayath, Irinjalakuda no distrito de Thrissur, Kerala. Está considerado o fundador da Escola de Astronomía e Matemáticas de Kerala. Un dos maiores matemáticos da Idade media, Madhava realizou contribucións pioneiras no estudo das series infinitas, a análise, a trigonometría, a xeometría e a álxebra. Foi o primeiro que empregou aproximacións mediante series para as funcións trigonométricas, o que se denominou "o paso adiante decisivo dende os procedementos finitos da matemática antiga cara ao paso ao límite no infinito".

Madhava de Sangamagrama

Nome orixinal	(ml) സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ (hi) संगमग्राम के माधव
Biografía
Nacemento	1350 (Gregoriano) Sangamagrama (en)
Morte	1425 (Gregoriano) (74/75 anos) valor descoñecido
Datos persoais
Residencia	Sangamagrama (en)
País de nacionalidade	India
Relixión	Hinduísmo
Actividade
Campo de traballo	Astronomía e matemáticas
Ocupación	matemático , astrónomo
Lingua	Lingua malayalam

Algúns estudosos suxeriron que a obra de Madhava, mediante os escritos da escola de Kerala, foi transmitida a Europa mediante misioneiros xesuítas e comerciantes activos no antigo porto de Muziris nesa época. Como resultado, puido ter influencia no desenvolvemento posterior en Europa da análise e o cálculo.

Contribucións

Series infinitas

Entre as súas moitas contribucións, descubriu as series infinitas para as funcións trigonométricas do seno, o coseno e o arcotanxente e moitos métodos de cálculo da circunferencia dun círculo. Unha das series de Madhava coñécese polo texto do Yuktibhāṣā, que contén a a derivación e a demostración da serie de potencias para as función trigonométricas inversas, descubertas por Madhava. No texto, Jyeṣṭhadeva describe a serie do seguinte xeito:

O primeiro termo é o produto do seno dado e o raio do arco desexado dividido polo coseno do arco. Os termos que suceden obtéñense por un proceso de iteración cando o primeiro termo é multiplicado repetidamente polo cadrado do seno e dividido polo cadrado do coseno. Todos os termos divídense entón polos números impares 1, 3, 5,... O arco obtense sumado e subtraendo respectivamente os termos impares e os termos pares. Establécese que o seno do arco ou do seu complemento, o que sexa menor, debe ser considerado aquí o seno dado. Caso contrario, os termos obtidos pola iteración superior non tenderán á magnitude descrecente..

Isto dá:

$r\theta ={\frac {r\sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+\cdots$

ou equivalentemente:

$\theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\cdots$

Esta é a serie de Gregory (por James Gregory, que a redescubriu tres séculos despois de Madhava). Mesmo se consideramos esta serie particular como obra de Jyeṣṭhadeva, adiantouse a Gregory nun século e certamente outra serie infinita dunha natureza similar foi traballada por Madhava. Actualmente denomínase serie de Madhava-Gregory-Leibniz.

Trigonometría

Madhava compuxo unha táboa de senos ben axustada. Marcando un cuadrante con vinte e catro intervalos iguais, deu as lonxitudes das semicordas (senos) correspondentes a cada un deles. Crese que calculou estes valores baseándose nestas expansións en series:

$\sin {q}=q-{\frac {q^{3}}{3!}}+{\frac {q^{5}}{5!}}-{\frac {q^{7}}{7!}}+...$

$\cos {q}=1-{\frac {q^{2}}{2!}}+{\frac {q^{4}}{4!}}-{\frac {q^{6}}{6!}}+...$

Valor de π

A obra de Madhava sobre o valor da constante pi foi citada no Mahajyānayana prakāra ("Método para os grandes senos"). Mentres algúns estudosos como Sarma cren que este libro puido ser escrito polo propio Madhava, é máis probable que fose obra dun sucesor do século XVI. Este texto atribúe a maioría das expansións de Madhava, e dá a seguinte serie infinita para π, coñecida como serie de Madhava-Leibniz:

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}},$

que obtivo da expansión dunha serie de potencias da función arcotanxente. Porén, o máis impresionante é que tamén deu o termo de corrección R_n para o erro tras calcular a suma ata n termos, namely:

$R_{n}={\frac {(-1)^{n}}{4n}}$, ou

$R_{n}={\frac {(-1)^{n}\cdot n}{4n^{2}+1}}$, ou

$R_{n}={\frac {(-1)^{n}\cdot (n^{2}+1)}{4n^{3}+5n}}$,

onde a terceira corrección leva a cálculos máis exactos de π.

Especulouse como atopou Madhava estes termos. Son os primeiros tres converxentes dunha fracción continua finita, o que, combinado coa serie orixinal de Madhava avaliada en n termos, dando arredor de 3n/2 díxitos de corrección:

${\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {(-1)^{n}}{4n+{\cfrac {1^{2}}{n+{\cfrac {2^{2}}{4n+{\cfrac {3^{2}}{n+{\cfrac {4^{2}}{\dots +{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{2}}{n[4-3(n{\bmod {2}})]}}}}}}}}}}}}}}.$

O valor absoluto do termo de corrección na seguinte orde superior é

$|R_{n}|={\frac {4n^{3}+13n}{16n^{4}+56n^{2}+9}}$.

Tamén deu unha serie que converxe máis rapidamente transformando a serie infinita orixinal de π, obtendo as series infinitas

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right).$

Empregando os primeiros 21 termos para calcular unha aproximación de π, obtivo o valor correcto con 11 cifras dixitais (3,14159265359). Ás veces atribúese a Madhava o valor de 3,1415926535898, con trece cifras decimais, mais puido ser obra dun dos seus seguidores. Foron as mellores aproximacións de π dende o século V. O texto Sadratnamala parece dar un valor sorprendentemente exacto de π = 3,14159265358979324 (17 decimais). Segundo isto, R. Gupta suxeriu que este texto tamén puido ser escrito por Madhava.

Madhava tamén levou investigacións noutras series para lonxitudes de arco e aproximacións asociadas a fraccións racionais de π, atopou métodos de expansión polinómica, descubriu criterios de converxencia de series infinitas, e a análise de fraccións continuas infinitas. Tamén descubriu as solucións das ecuacións transcendentes por iteración e atopou a aproximación de números transcendentes mediante fraccións continuas.

Cálculo

Madhava estableceu os fundamentos para o desenvolvemento do cálculo infinitesimal, posteriormente desenvolvidos polos seus sucesores na escola de Kerala. Madhava tamén estendeu algúns resultados atopados en traballos anteriores, como os de Bhāskara II. Porén, é dubidoso se algunha destas ideas foron transmitidas a occidente, onde o cálculo se desenvolveu de xeito independente por Isaac Newton e Leibniz.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Biography on MacTutor