Icosaedro

Un icosaedro[1] é un poliedro de vinte caras, convexo ou cóncavo. Se as vinte caras do icosaedro son triángulos equiláteros e congruentes, iguais entre si, o icosaedro é convexo e denomínase regular, sendo entón un dos chamados sólidos platónicos. O poliedro conxugado do icosaedro é o dodecaedro.

Figura en vértice 3.3.3.3.3

O vocábulo icosaedro procede do grego eikosaedron, de εἴκοσι éikosi "vinte" e ἕδρα hedra "asento, cara".

Cálculo de dimensións fundamentaisEditar

Raio externoEditar

Se a é a lonxitude dunha aresta dun icosaedro regular, o raio dunha esfera circunscrita (unha que toca o icosaedro en todos os seus vértices) é  

Raio internoEditar

O raio dunha esfera inscrita (tanxente ás caras do icosaedro) é  

ÁnguloEditar

O ángulo que forman os vectores que van do centro a dous vértices adxacentes é constante e vale:  

Volume, área e desenvolvementoEditar

 
Animación dun dos desenvolvementos do Icosaedro.

Dado un Icosaedro regular de aresta a, pódese calcular o seu volume V mediante a seguinte fórmula:

 
(Aproximadamente 2,18•a³)

e a área total das súas caras A (que é 20 veces a área dunha delas, Ac), mediante:

 
(Aproximadamente 8,66•a²)

Desenvolvemento do icosaedro:  

Coordenadas cartesianas e estruturaEditar

 
Os 12 pentágonos internos que constitúen o icosaedro determinan as caras do dodecaedro grande.

As seguintes coordenadas cartesianas definen os vértices dun icosaedro centrado na orixe:

(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)

Onde φ = (1+√5)/2 é a razón áurea. Cómpre salientar que os vértices dun icosaedro forman grupos de tres rectángulos áureos ortogonais entre si. O icosaedro contén no seu interior 15 rectángulos áureos: cada rectángulo contén dúas arestas opostas. Isto débese a que dous lados do rectángulo son a aresta do icosaedro e os outros dous son as diagonais de dous pentágonos regulares paralelos xirados 180 graos. A diagonal do pentágono regular está en proporción áurea co lado do pentágono, que neste caso é a aresta do icosaedro.

O icosaedro, a pesar de estar formado por 20 triángulos equiláteros, pode considerarse como a unión de 12 pentágonos regulares internos. A intersección dos pentágonos entre eles orixina as 30 arestas que conforman o icosaedro. Os 12 pentágonos regulares mencionados determinan as caras do gran dodecaedro, un dos sólidos de Kepler-Poinsot.

Proporcións áureas no icosaedroEditar

No icosaedro pódese atopar varias veces o número áureo. Na imaxe da esquerda pódense apreciar algunhas proporcións áureas presentes no icosaedro:

CD/AB = φ; EG/FG = φ
AD/GD = φ; KH/IK = φ
GD/AG = φ; BN/MN = φ
CL/CI = φ; AH/GN = φ
MN/BM = φ; BM/BF = φ
FG/EF = φ; BF/FM = φ
IK/HI = φ; GD/MD = φ
CI/LI = φ; MD/GM = φ
BC/CG = φ; CG/GB = φ

NotasEditar

  1. Definicións no Dicionario da Real Academia Galega e no Portal das Palabras para icosaedro.