Forma pechada

En matemáticas, dise que unha expresión é unha expresión en forma pechada (ou forma fechada, en inglés closed-form) se e só se pode expresar analiticamente en termos dun número limitado de funcións coñecidas. Normalmente, estas funcións coñecidas defínense como funcións elementais: constantes, unha variábel x, operacións elementais de aritmética (+ – × ÷ –), raíces n-ésimas, exponenciais e logaritmos (que tamén inclúen funcións trigonométricas e funcións trigonométricas inversas).

Máis extensamente podemos tamén referirnos a expresión en forma pechada. Tamén pode denominarse fórmula explícita.

A condición importante é que sexa calculábel directamente a través da fórmula dada, non serían válidas por exemplo recorrencias, series, resultados asintóticos ou solucións mediante algoritmos.

Exemplos e contraexemplos

Para o termo n da secuencia de Fibonacci temos as solucións:

• Forma non pechada: $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$.
• Forma pechada: $F_{n}={\dfrac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {5}}}$, onde $\alpha ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}};\ \beta ={\dfrac {1-{\sqrt {(}}5)}{2}};$.

Valor da función zeta de Riemann:

• Forma non pechada: $\zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{s}}}$. Non está descuberta unha fórmula explícita para valores impares do argumento $s$.
• Forma pechada para o argumento $s=2$: $\zeta (2)={\dfrac {\pi ^{2}}{6}}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ritt, J. F. (1948). Integration in finite terms. 
• Chow, Timothy Y. (1999). What is a Closed-Form Number?. American Mathematical Monthly 106. pp. 440–448. 

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W., [en http://mathworld.wolfram.com/Closed-FormSolution.html]