Teorema de Tales

Existen dous teoremas relacionados coa xeometría clásica que reciben o nome de teorema de Tales, ambos atribuídos ao matemático grego Tales de Mileto no século VI a. C.

Tales de Mileto.

Os dous teoremas de Tales

Semicírculo que ilustra o segundo teorema de Tales.

O primeiro deles explica esencialmente unha forma de construír un triángulo semellante a un previamente existente ("os triángulos semellantes son os que teñen ángulos congruentes, isto deriva en que os seus lados homólogos sexan proporcionais e viceversa").

Mentres que o segundo desentraña unha propiedade esencial dos circuncentros de todos os triángulos rectángulos ("atopándose estes no punto medio da súa hipotenusa"), que á súa vez na construción xeométrica é amplamente utilizado para impor condicións de construción de ángulos rectos.

Se diversas rectas paralelas son intersecadas por dúas transversais, os segmentos determinados polas paralelas e correspondentes entre transversais, son proporcionais.

Primeiro teorema

Unha aplicación do teorema de Tales.

Como definición previa ao enunciado do teorema, é necesario establecer que dous triángulos son semellantes se teñen os ángulos correspondentes iguais ou si os seus lados son proporcionais entre si. O primeiro teorema de Tales recolle un dos resultados máis básicos da xeometría:

Teorema primeiro Se nun triángulo se traza unha liña paralela a calquera dos seus lados, obtense un triángulo que é semellante ao triángulo dado. Tales de Mileto

Segundo parece, Tales descubriu o teorema mentres investigaba a condición de paralelismo entre dúas rectas. De feito, o primeiro teorema de Tales pode enunciarse como que a igualdade dos cocientes dos lados de dous triángulos non é condición suficiente de paralelismo. Con todo, a principal aplicación do teorema, e a razón da súa fama, derívase do establecemento da condición de semellanza de triángulos, por mor da cal se obtén o seguinte corolario.

Corolario

Do establecemento da existencia dunha relación de semellanza entre ambos os triángulos dedúcese a necesaria proporcionalidade entre os seus lados. Iso significa que a razón entre a lonxitude de dous deles nun triángulo mantense constante no outro.

Por exemplo, na figura obsérvanse dous triángulos que, en virtude do teorema de Tales, son semellantes. Entón, do mesmo dedúcese a modo de corolario que o cociente entre os lados A e B do triángulo pequeno é o mesmo que o cociente entre os lados D e C no triángulo grande. Isto é, que como polo teorema de Tales ambos os triángulos son semellantes, cúmprese que:

${\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}\,$

Este corolario é a base da xeometría descritiva. A súa utilidade é evidente; segundo Heródoto, o propio Tales empregou o corolario do seu teorema para medir a altura da pirámide de Keops en Exipto. En calquera caso, o teorema demostra a semellanza entre dous triángulos, non a constancia do cociente.

Do primeiro teorema de Tales dedúcese ademais o seguinte (realmente é outra variante de devandito teorema, e, á súa vez, consecuencia do mesmo): Se as rectas A, B, C son paralelas e cortan outras dúas rectas R e S, entón os segmentos que determinan nelas son proporcionais.

Segundo teorema

fig 2.1 Ilustración do enunciado do segundo teorema de Tales de Mileto.

Teorema segundo Sexa B un punto da circunferencia de diámetro AC e centro "O", distinto de A e de C. Entón o triángulo ABC, é un triángulo rectángulo onde <ABC = 90º. Tales de Mileto

Este teorema (véxase fig 2.1 e 2.2), é un caso particular dunha propiedade dos puntos cocíclicos e da aplicación dos ángulos inscritos dentro dunha circunferencia.

Demostración

fig 2.2 Sempre que AC sexa un diámetro, o ángulo B será constante e recto.

fig 2.3 Os triángulos AOB e BOC son isósceles.

Na circunferencia de centro O e raio r (véxase fig 2.3), os segmentos

OA , OB e OC

son iguais por seren todos raios da mesma circunferencia. Polo tanto os triángulos AOB e BOC son isósceles.

A suma dos ángulos do triángulo ABC é:

$2\alpha +2\beta =\pi =180^{\circ }$

Dividindo ambos os membros da ecuación anterior entre dous, obtense:

$A{\widehat {B}}C=\alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}}\;=90^{\circ }$

Coa expresión anterior o segundo teorema queda demostrado.

Corolarios

(Corolario 1) En todo triángulo rectángulo a lonxitude da mediana correspondente á hipotenusa é sempre a metade da mesma.

Xa que aplicando o teorema anterior, sábese que para calquera posición que adopte o vértice B vale a igualdade, OA = OB = OC = r, onde OB é a mediana da hipotenusa, (véxase fig 2.3).

Corolario 2 A circunferencia circunscrita a todo triángulo rectángulo sempre ten raio igual á metade da hipotenusa e o seu circuncentro localizarase no punto medio da mesma.

O corolario 2 tamén xorde de aplicar o teorema anterior. Para unha comprensión intuitiva basta observar a fig 2.2.

Aplicación do segundo teorema

Construción de tanxentes (liñas vermellas) a unha circunferencia k desde un punto P, utilizando o segundo teorema de Tales.

O segundo teorema pode ser aplicado para trazar as tanxentes a unha circunferencia k dada, que ademais pasen por un punto P coñecido e externo á mesma (véxase figura).

Suporase que unha tanxente calquera t (por agora descoñecida) toca a circunferencia k nun punto T (tamén descoñecido por agora). Sábese por simetría que calquera raio r da circunferencia k é perpendicular á tanxente do punto T que devandito raio define na mesma, polo que se conclúe que o ángulo OTP é necesariamente recto.

O anterior implica que o triángulo OTP é rectángulo. Lembrando o corolario 2 do teorema segundo de Tales pódese deducir que entón o triángulo OTP é inscribible nunha circunferencia de radio ½ da hipotenusa OP do mesmo.

Entón marcando o punto H como punto medio da hipotenusa OP e facendo centro no mesmo, pódese debuxar unha segunda circunferencia auxiliar (gris na figura) que será a que circunscribe ao triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada intersecarase coa circunferencia k en dous puntos T e T', estes son xustamente os puntos de tanxencia das dúas rectas que son simultaneamente tanxentes a k e ademais pasan polo punto P, agora xa coñecidos os puntos T e T' só basta trazar as rectas TP e T'P (vermellas na figura) para ter resolto o problema.

Lenda relatada por Plutarco

Segundo a lenda relatada por Plutarco, Tales de Mileto nunha viaxe a Exipto, visitou as pirámides de Gizeh, construídas varios séculos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos desta civilización, quixo saber a súa altura. De acordo á lenda, tratou este problema con semellanza de triángulos (baixo a suposición de que os raios solares incidentes eran paralelos), puido establecer unha relación de semellanza (teorema primeiro) entre dous triángulos rectángulos, por unha banda o que ten por catetos (C e D) á lonxitude da sombra da pirámide (que se pode coñecer) e a lonxitude da súa altura (descoñecida), e doutra banda, valéndose dunha vara cravada no chan de modo perfectamente vertical cuxos catetos coñecibles (A e B) son, a lonxitude da vara e a lonxitude da súa sombra. Realizando as medicións nunha hora do día en que a sombra da vara sexa perpendicular á base da cara desde a cal medía a sombra da pirámide e agregando á súa sombra a metade da lonxitude dunha das caras, obtiña a lonxitude total C da sombra da pirámide até o centro da mesma.

Como en triángulos semellantes se cumpre que ${\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}$, polo tanto a altura da pirámide é $D={\frac {AC}{B}}$, co cal resolveu o problema.

Véxase tamén

Bibliografía

• Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. p. 50. ISBN 0-8218-4347-8. 
• Heath, T.L. (1921). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid I. Oxford. pp. 131ff. 

Ligazóns externas

• Munching on Inscribed Angles
• Teorema de Tales explicado con animacións interactivas