Teoría de números

A teoría de números é a rama da matemática pura que se ocupaba inicialmente do estudo dos números enteiros e dos problemas aritméticos relacionados coa multiplicación e a división de enteiros. É chamada ás veces "A Raíña das Matemáticas" debido ó seu papel fundacional da disciplina. Os teóricos dos números estudan os números primos así como as propiedades de obxectos construídos a partir dos enteiros (e.g. os números racionais) ou definidos como xeneralización destes (e.g. os números enteiros alxébricos).

Alegoría da Aritmética, unha das sete artes liberais, portando unha corda anoada (tirada do manuscrito Hortus deliciarum do século XII).

Cando dispoñemos os números naturais nunha espiral e destacamos os números primos, observamos un intrigante e non totalmente explicado patrón, chamado espiral de Ulam.

A simplicidade dos enunciados e a fácil accesibilidade á maioría dos problemas da teoría de números fan que sexa moi atractiva. En contraposición, outra peculiaridade é a dificultade na resolución dos problemas. Por exemplo, hai máis de 2.300 anos Euclides conxecturou que hai infinitos números primos xemelgos, conxectura que aínda está sen demostrar.

Problemas concretos da teoría de números chegaron a ser fonte de importantes ramas independentes da matemática. Entre estas están: a teoría de números primos e as teorías relacionadas da función zeta e das series de Dirichlet, a teoría das ecuacións diofantianas, a teoría aditiva dos números, a teoría métrica dos números, a teoría dos números alxébricos e transcendentes, a teoría alxébrica dos números, a teoría das aproximacións diofantianas, a teoría probabilística dos números, e a xeometría dos números. Algúns exemplos son: unha fonte da teoría analítica dos números foi o problema da distribución dos números primos en series de números naturais e o problema de representar números naturais como sumas de termos dunha forma particular. A resolución de ecuacións diofantianas, e en particular o Último Teorema de Fermat, foi a orixe da teoría alxébrica dos números. O problema de construír un círculo de área unitaria só co uso da regra sen graduar e o compás (Cuadratura do círculo) levou a cuestións acerca da natureza aritmética do número π e, en consecuencia, á creación da teoría de números alxébricos e transcendentes.

Todas as ramas e teorías numéricas mencionadas están interconectadas, complementándose e enriquecéndose mutuamente.

Teoría de números ou Aritmética?

A Teoría de números foi chamada "Aritmética" ata que a comezos do século XX foi impoñéndose a denominación actual.

A xente común usa a palabra "aritmética" para referirse ás "operacións elementais". Tamén adquiriu outros significados en lóxica matemática (e.g. aritmética de Peano), e na ciencia da computación (e.g. punto decimal flotante, que en inglés dise floating point arithmetic).

O uso do termo "aritmética" para referirse á "teoría de números" volveu gañar terreo na segunda metade do século XX, en gran parte debido á influencia dos matemáticos franceses..

Entre tanto, ese termo aínda aparece nos nomes de obxectos matemáticos relacionados como as funcións aritméticas, a aritmética de curvas elípticas ou o teorema fundamental da aritmética. En particular, prefírese o adxectivo "aritmético" a "teórico dos números".

Historia

Orixes

Albores da aritmética

A táboa Plimpton 322.

O primeiro descubrimento histórico de natureza aritmética é un fragmento dunha táboa de arxila, a coñecida como Plimpton 322, achada en Larsa (Mesopotamia) e datada no arredor do 1800 a.C. Contén unha listaxe de ternas pitagóricas, ou sexa, enteiros a, b, c tales que a²+b²=c². A táboa ten moitas ternas e con números bastante elevados, o que fai pensar que non foron obtidos pola forza bruta. Na parte superior da primeira columna pódese ler: O takiltum da diagonal que foi subtraído tal que a largura...

A disposición da táboa suxire que foi construída por medio do que equivale, na linguaxe moderna, á identidade:

$\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},$

que está implícita nos exercicios rutineiros dos antigos babilonios. Se foi utilizado algún outro método, as ternas foran inicialmente construídas e despois reordenadas por $\scriptstyle c/a$, presumibelmente para un uso real como unha táboa de consulta con vistas á súa aplicación práctica.

Non sabemos cales poden ter sido esas aplicacións, ou se podería ter habido algunha pois se, por exemplo, fose para a astronomía, esta floreceu entre os babilonios máis tarde. Tense suxerido, pola contra, que a táboa fose unha fonte de exemplos numéricos para problemas escolares.

Mentres que a teoría de números babilonia, ou o que sobreviviu da súa matemática que se pode chamar así, consiste neste simple e notable fragmento, a álxebra deste pobo (no sentido que a palabra "álxebra" ten no ensino secundario) estaba excepcionalmente desenvolvida. As últimas fontes neoplatónicas sosteñen que Pitágoras aprendeu matemáticas dos babilonios. Fontes máis temperás sosteñen que Tales e Pitágoras estudaron en Exipto.

Euclides IX 21—34 é moi probabelmente pitagórico; é un material moi simple ("impar por par é par", "se un número impar divide a un número par entón tamén divide á metade deste"), pero é todo o que se necesita para probar que $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ é irracional. Os místicos pitagóricos dábanlle moita importancia aos pares e impares. O descubrimento de que $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ é irracional atribúese aos pitagóricos temperás (anteriores a Teodoro). A revelación (en termos modernos) de que hai números irracionais, semella ter provocada a primeira crise fundacional na historia das matemáticas; a súa proba ou a súa divulgación atribúese ás veces a Hipaso, quen foi expulsado ou apartado da seita pitagórica. É só aquí onde podemos comezar a falar dunha división clara e concisa entre números (enteiros e racionais, os suxeitos da aritmética) e lonxitudes (números reais, sexan racionais ou non).

A tradición pitagórica fala tamén dos chamados números poligonais ou dos números figurados. Mentres que os números cadrados, cúbicos etc., son vistos agora coma máis naturais cós triangulares, pentagonais etc., o estudo das sumas dos números triangulares e pentagonais acreditou unha morea de froitos durante os inicios da idade moderna (do século XVII ao XIX).

Coñecemos material aritmético impreciso do antigo Exipto ou as fontes védicas, aínda que hai algunha álxebra en ambas. O teorema chinés do resto aparece como un exercicio na obra de Sun Zi, Suan Ching, tamén coñecida como A matemática clásica de Sun Zi, escrita en data descoñecida entre os anos 220 e 473. Hai un importante paso glosado na solución de Sun Zi: é o problema que foi resolto posteriormente por Aryabhata mediante o método que el chamou kuttaka (véxase embaixo).

Hai tamén algún misticismo numérico nas matemáticas chinesas, pero, a diferenza dos pitagóricos, semella que non levan a ningures. Ao igual cos números perfectos dos pitagóricos,os cadrados máxicos chineses pasaron da superstición ao entretemento.

Grecia clásica e o inicio do período helenístico

Á parte duns poucos fragmentos, as matemáticas da Grecia clásica son coñecidas a través dos relatos de contemporáneos non matemáticos ou polos traballos dos inicios do período helenístico. No caso da teoría de números isto significa, na maior parte, Platón e Euclides, respectivamente.

Platón tiña un grande interese polas matemáticas, e distinguía claramente entre aritmética e cálculo (por aritmética entendía, en parte, teorizar sobre os números, máis cos significados que aritmética e teoría de números chegaron a ter posteriormente). Grazas a un dos diálogos de Platón, Teeteto, sabemos que Teodoro probou que $\scriptstyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$ son irracionais. Teeteto foi, coma Platón, un discípulo de Teodoro; traballou na diferenciación das diferentes clases de inconmensurábeis, e deste xeito pode dicirse que foi un dos pioneiros no estudo dos sistemas numéricos (Pappus describe o Libro X dos Elementos de Euclides como amplamente baseado na obra de Teeteto).

Euclides adicou parte dos seus Elementos aos números primos e á divisibilidade, tópicos que pertenzen sen ningunha dúbida á teoría de números e son básicos dentro dela (Libros VII ao IX dos Elementos). En particular deu un algoritmo para o cálculo do máximo común divisor de dous números (algoritmo de Euclides; prop. VII.2 dos Elementos) e a primeira demostración da infinitude dos primos (prop. IX.20 dos Elementos).

No 1773, Lessing publicou un epigrama que achara nun manuscrito durante o seu traballo como libreiro; afirmaba ser unha carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes. O problema propuña o que chegou a ser coñecido como o problema bovino de Arquímedes. A súa solución, que non aparece no manuscrito, require resolver unha ecuación cadrática indeterminada, a cal se reduce á que máis tarde sería nomeada erroneamente ecuación de Pell. Ata onde sabemos, este tipo de ecuacións foron resoltas con éxito pola matemática india. Descoñécese se Arquímedes tiña un método de resolución.

Diofanto

Tradución do grego ao latín da Arithmetica de Diofanto, feita en 1621 por Bachet.

Coñécese pouco da vida de Diofanto; probabelmente viviu no século III a.C, isto é, arredor de cincocentos anos antes que Euclides. Dos trece libros da Arithmetica de Diofanto, sobreviven seis no grego orixinal e catro máis na tradución ao árabe. A Arithmetica é unha colección de problemas resoltos onde a tarefa é invariabelmente achar as solucións racionais dun sistema de ecuacións polinómicas, xeralmente da forma $\scriptstyle f(x,y)=z^{2}$ ou $\scriptstyle f(x,y,z)=w^{2}$. De aí ven que, hoxe en día, se lle chamen ecuacións diofantianas a aquelas ecuacións polinómicas nas que se buscan as solucións racionais ou enteiras.

Hai que dicir que Diofanto estudou puntos racionais (isto é, puntos cuxas coordenadas son racionais) en curvas e variedades alxébricas; porén, a diferenza dos gregos do período clásico, quen fixeron o que agora chamariamos álxebra básica en termos xeométricos, Diofanto fixo o que agora chamariamos xeometría alxébrica básica en termos puramente alxébricos. Na linguaxe moderna, o que Diofanto fixo foi achar parametrizacións racionais de variedades; é dicir, dada unha ecuación da forma, digamos, $\scriptstyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$, o seu propósito era atopar, en esencia, tres funcións racionais $\scriptstyle g_{1},g_{2},g_{3}$ tal que, para tódolos valores de $\scriptstyle r$ e $\scriptstyle s$, tomando $\scriptstyle x_{i}=g_{i}(r,s)$ para $\scriptstyle i=1,2,3$ dá unha solución de $\scriptstyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.$

Diofanto tamén estudou as ecuacións dalgunhas curvas non racionais, para as que é posíbel unha parametrización racional. Amañouse para achar algúns puntos racionais nesas curvas (curvas elípticas, como sucede, no que parece que é a súa primeira aparición coñecida) mediante o que equivale a unha construción de tanxente: trasladado á xeometría coordenada (que non existía en tempos de Diofanto), este método visualizariase como o trazado da tanxente a unha curva nun punto racional coñecido, e despois atopando o outro punto de intersección da tanxente coa curva; este outro punto é un novo punto racional (Diofanto tamén recorreu ao que podería ser chamado un caso especial da construción da secante).

Aínda que Diofanto tiña grande interese nas solucións racionais, asumiu algúns resultados sobre números enteiros, en particular que cada enteiro é a suma de dous cadrados (se ben el nunca detallaba moito o seu traballo).

India

Mentres que a astronomía grega probabelmente influenciou o coñecemento indio, ata o punto de introducir a trigonometría, semella que as matemáticas indias son, á parte diso, unha tradición autóctona. En particular, non hai evidencias de que os Elementos de Euclides chegaran á India antes do século XVIII

Âryabhata (476–550) amosou que pares de congruencias simultáneas $\scriptstyle n\equiv a_{1}{\pmod {m}}_{1}$, $\scriptstyle n\equiv a_{2}{\pmod {m}}_{2}$ podían resolverse por un método que chamou kuṭṭaka, ou pulverizador; este é un procedemento próximo a unha xeneralización do Algoritmo de Euclides, que probabelmente se descubriu independentemente na India. Semella que Âryabhata tiña en mente aplicacións para os cálculos astronómicos.

Brahmagupta (628) comezou o estudo sistemático das ecuacións cadráticas indefinidas, en particular a mal chamada ecuación de Pell, das que Arquímedes debeu ser o primeiro en interesarse, e que non comezaron a ser resoltas en occidente ata a época de Fermat e Euler. Máis tarde os autores sánscritos continuarían o seu estudo, usando a terminoloxía técnica de Brahmagupta. Un procedemento xeral para resolver a ecuación de Pell, o Chakravala ou método cíclico, foi achado finalmente por Jayadeva (citado no século XI, a súa obra polo demais perdeuse). A exposición máis temperá que se conserva aparece na obra Bijagaṇita de Bhaskara II (século XII)

Desgraciadamente, as matemáticas indias non foron coñecidas no mundo occidental ata finais do século XVIII. As obras de Brahmagupta e Bhaskara non foron traducidas ao inglés ata 1817 por Henry Colebrooke.

Idade de ouro islámica

Al-Haytham, xunto con Galileo, no frontispicio de Selenographia.

Nos primeiros anos do século IX o califa Al-Ma'mun ordenou traducir moitas obras matemáticas gregas e polo menos unha sánscrita, o Sindhind que pode ou non pode ser o Brāhmasphuţasiddhānta de Brahmagupta. A obra principal de Diofanto, a Arithmetica, foi traducida ao árabe por Qusta ibn Luqa (820-912); parte do tratado al-Fakhri, de al-Karajī (953-ca.1029), baséase nela. Segundo Roshdi Rashed, Ibn al-Haytham, contemporáneo de al-Karajī, coñecía o que máis tarde sería chamado teorema de Wilson.

Idade Media

Á parte dun tratado sobre cadrados en progresións aritméticas de Fibonacci, quen viviu e estudou en África do Norte e Constantinopla nos seus anos de formación (ca.1175-1200), non se pode falar de traballos sobre teoría de números durante a Idade Media en Europa. O panorama cambiou a finais do Renacemento grazas a un renovado estudo das obras da antigüidade grega. Un catalizador foi a corrección e tradución textual ao latín da Arithemtica de Diofanto, feita por Bachet en 1621, seguindo un primeiro intento de Xylander en 1575.

Os inicios da moderna teoría de números

Fermat

Pierre de Fermat, un dos máis famosos teóricos dos números.

Pierre de Fermat (1601–1665) non publicou nunca os seus escritos. A súa obra e, en particular, o seu traballo en teoría de números está contido case enteiramente nas cartas que enviou a outros matemáticos e nas notas privadas escritas na marxe dos libros. Non anotaba as demostracións de teoría de números e non tiña modelos nesa área. Fixo un uso reiterado da indución matemática, introducindo o método do descenso infinito.

Uns dos primeiros temas de interese para Fermat foron os números perfectos (que aparecen nos Elementos IX, de Euclides) e os números amigos. Isto levouno a traballar sobre os divisores enteiros, os cales estiveron desde o principio entre os temas da súa correspondencia (a partir de 1636) que lle permitiu establecer contacto coa comunidade matemática da época. En 1643 xa tiña estudado cuidadosamente a edición de Bachet da obra de Diofanto, que agrandou en gran medida o seu interese polos problemas diofantianos e das sumas de cadrados, tamén tratados por Diofanto.

Os logros de Fermat en aritmética inclúen:

• O pequeno teorema de Fermat (1640), establecendo que se a non é divisíbel por un primo p, entón $\scriptstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$.
• Se a e b son coprimos, entón $\scriptstyle a^{2}+b^{2}$ non é divisíbel por ningún primo congruente con −1 módulo 4; e Todo primo congruente con 1 módulo 4 pode escribirse da forma $\scriptstyle a^{2}+b^{2}$. Estes dous resultados tamén son de 1640; en 1659, Fermat informou a Huygens de que probara o último resultado polo método do descenso infinito. Fermat e Frenicle tamén fixeron traballos (algús deles erróneos ou non rigorosos) sobre as formas cadráticas.
• Fermat formulou o problema de resolver $\scriptstyle x^{2}-Ny^{2}=1$ como un reto aos matemáticos ingleses (1657). O problema foi resolto en poucos meses por Wallis e Brouncker. Fermat considerou válida a solución que deron, mais sinalou que usaran un algoritmo sen telo probado (como fixeran Jayadeva e Bhaskara, aínda que Fermat non coñecería este feito). El establecera que unha demostración podía acharse polo método do descenso.
• Fermat desenvolveu métodos para (facendo o que nos nosos termos equivale a) achar puntos en curvas de xénero 0 e 1. Como en Diofanto, hai moitos procedementos especiais e que equivalen á construción da tanxente, pero non fai uso da construción da secante.
• Fermat estableceu e probou (por descenso) no apéndice das Observacións sobre Diofanto (Obs. XLV), que $\scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{4}$ non ten solucións enteiras non triviais. Fermat tamén mencionou na súa correspondencia que $\scriptstyle x^{3}+y^{3}=z^{3}$ non ten solucións non triviais, e que isto podía probarse por descenso. A primeira demostración coñecida débese a Euler en 1753, por certo usando o método do descenso.

Fermat afirmou ter probado o que hoxe coñecemos como o último teorema de Fermat. O teorema afima que $\scriptstyle x^{n}+y^{n}=z^{n}$ non ten solucións para todo $\scriptstyle n\geq 3$. A demostración de Fermat estaría na marxe do seu exemplar perdido da aritmética de Diofanto. El nunca o comunicou a outros na súa correspondencia e así non tería que retractarse se aqueles achaban algún erro na súa suposta proba (é un feito que as únicas probas coñecidas fixéronse con métodos completamente alleos aos seus métodos).

Euler

Leonhard Euler

O interese de Leonhard Euler (1707–1783) na teoría de números foi estimulado por primeira vez en 1729 cando o seu amigo, o afeccionado Christian Goldbach indicoulle algúns dos resultados de Fermat na materia. Este instante foi chamado o "renacemento" da teoría de números, logo da relativa falla de éxito que tivo Fermat en espertar o interese dos seus contemporáneos pola materia. Algúns dos traballos de Euler na teoría de números son:

• Demostracións de resultados establecidos por Fermat, como o pequeno teorema de Fermat (xeneralizado por Euler a módulos non primos), o feito de que $\scriptstyle p=x^{2}+y^{2}$ se e só se $\scriptstyle p\equiv 1\;mod\;4$, o traballo inicial cara a unha demostración de que todo enteiro positivo pode expresarse como a suma de catro cadrados (a primeira demostración completa débese a Joseph-Louis Lagrange en 1770, e foi mellorada moi pronto polo propio Euler; ou a ausencia de solucións enteiras non nulas da ecuación $\scriptstyle x^{4}+y^{4}=z^{2}$ (que implica o último teorema de Fermat para n=4, o cal demostrou Euler para n=3 mediante un método semellante).
• Ecuación de Pell, mal nomeada por Euler nun primeiro momento. Escribiu acerca da relación entre as fraccións continuas e a ecuación de Pell.
• Primeiros pasos cara á teoría analítica dos números. Nos seus traballos sobre as sumas de catro cadrados, as particións, os números pentagonais e a distribución dos números primos, Euler foi un pioneiro no uso do que se pode considerar como análise (en particular, as series infinitas) en teoría de números. Xa que logo viviu antes do desenvolvemento da análise complexa, a maioría do seu traballo restrínsexe á manipulación formal das series de potencias. Porén fixo algún traballo temperá notábel (aínda que non completamente rigoroso) sobre o que máis tarde deuse en chamar a función zeta de Riemann.
• Formas cadráticas. Continuando o camiño iniciado por Fermat, Euler profundou na cuestión de cales primos poden expresarse da forma $\scriptstyle x^{2}+Ny^{2}$, algúns dos cales prefigurando reciprocidade cadrática.
• Ecuacións diofantianas. Euler traballou nalgunhas ecuacións diofantianas de xénero 0 e 1. En particular, estudou o traballo de Diofanto, tratando de sistematizalo, mais non chegara o tempo para tal empresa, a xeometría alxébrica estaba aínda na súa infancia. Decatouse de que había unha conexión entre os problemas diofantianos e as integrais elípticas, cuxo estudo iniciara el mesmo.

Lagrange, Legendre e Gauss

Primeira edición de Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss.

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) foi o primeiro en dar demostracións completas dalgúns traballos e observacións de Fermat e Euler como, por exemplo, o teorema dos catro cadrados e a teoría básica da mal chamada "ecuación de Pell" (para a que xa encontraran un algoritmo de resolución Fermat e os seus contemporáneos e, antes que eles Javadeva e Bhaskara II). Tamén estudou as formas cadráticas dun xeito xeral (en oposición a $\scriptstyle mX^{2}+nY^{2}$), definindo a súa relación de equivalencia, amosando como poñelas na forma reducida etc.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) foi o primeiro en establecer a lei da reciprocidade cadrática. Tamén conxecturou sobre o que levou ao teorema dos números primos e o teorema de Dirichlet sobre as progresións aritméticas. Deu un tratamento completo á ecuación $\scriptstyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ e traballou nas formas cadráticas seguindo as liñas que máis tarde foron desenvolvidas completamente por Gauss. Sendo xa un ancián foi o primeiro en probar o "último teorema de Fermat" para $n=5$ (completando o traballo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet, sendo atribuída a proba tanto a el coma a Sophie Germain).

Carl Friedrich Gauss

Nas súas Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) probou a lei da reciprocidade cadrática e desenvolveu a teoría das formas cadráticas (en particular, definindo a súa composición). Tamén introduciu algunha notación básica das congruencias e adicou unha sección a asuntos computacionais, incluíndo tests de primalidade. A derradeira sección das Disquisitiones establece unha relación entre as raíces das unidade e a teoría de números:

A teoría da división do círculo... que se trata na sección 7 non pertence por si mesma á aritmética, mais os seus principios só poden ser expresados mediante aritmética avanzada

Goldstein & Schappacher (2007)

Deste xeito, probabelmente Gauss fixo a primeira incursión cara ao traballo de Évariste Galois e á teoría alxébrica dos números.

Madureza e división en subcampos

Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

A comezos do século XIX foron producíndose dun xeito gradual os seguintes avances:

• O aumento da autoconsciencia da teoría de números (ou "aritmética superior") como un campo de estudo.
• O desenvolvemento de moitas das matemáticas modernas necesarias para a teoría básica dos números: análise complexa, teoría de grupos, teoría de Galois, acompañado dun maior rigor en análise e dunha abstracción crecente en álxebra.
• A subdivisión aproximada da teoría de números nos modernos subcampos desta, en particular, na analítica e na alxébrica.

Pode considerarse que a teoría alxébrica dos números comeza co estudo da reciprocidade e da ciclotomía, mais chegou realmente a ser o que é co desenvolvemento da álxebra abstracta, a temperá teoría de ideais e a teoría da valoración. Un punto de inicio convencional da teoría analítica dos números é o teorema das progresións aritméticas de Dirichlet (1837) cuxa demostración introducía as funcións L e implicaba algunha análise asintótica e un proceso de límite sobre unha variable real. O primeiro en usar realmente as ideas análiticas na teoría de números foi Euler na década dos 1730 quen usou series de potencias formais e argumentos non rigorosos (ou implícitos) dos límites. O uso da análise complexa na teoría de números veu máis tarde: o traballo de Bernhard Riemann (1859) sobre a función zeta é o punto canónico de partida. O teorema dos catro cadrados de Jacobi, que o precede, pertence a un fío inicialmente diferente que xa tivo un papel principal na teoría analítica dos números (formas modulares).

Moitas das cuestións máis interesantes de cada área permanecen abertas e estase a traballar activamente nelas.

Subdivisións

A teoría de números pódese subdividir en varios campos, de acordo cos métodos que son usados e das cuestións que son investigadas, a saber:

• Teoría elemental dos números: utiliza soamente os métodos elementais da aritmética para a verificación e comprobación das propiedades esenciais do conxunto dos números enteiros, e en particular as propiedades dos números primos;
• Teoría Analítica dos Números: utiliza a análise real e a análise complexa, especialmente para estudar as propiedades dos números primos;
• Teoría Alxébrica dos Números: utiliza álxebra abstracta avanzada (álxebra moderna) e estuda os números alxébricos;
• Teoría Xeométrica dos Números: utiliza métodos xeométricos, alxébricos e analíticos;

Sobre a Teoría Elemental dos Números

Normalmente, o primeiro contacto coa Teoría de números é a través da Teoría Elementar dos Números. A través desta disciplina pódense introducir propiedades bastante interesantes e notábeis dos números enteiros, mais, que ao seren propostas como cuestións a seren resolvidas, ou teoremas a seren probados, son xeralmente de difícil solución ou comprobación. Estas cuestións están ligadas basicamente a tres tipos de investigacións, a saber:

1. Estudos específicos sobre as propiedades dos números primos;
2. Estudos envolvendo a investigación de algoritmos eficientes para a Aritmética Básica;
3. Estudos sobre a resolución de Ecuacións Diofantianas;

Estas cuestións directamente ligadas ao estudo do Conxunto dos números enteiros e o seu subconxunto: o Conxunto dos números naturais.

A título de ilustración, algúns dos moitos problemas que se poden focalizar nestas tres áreas da Teoría Elemental dos Números son comentados a continuación:

Propiedades dos números primos

Teorema de Euclides

"Existe unha cantidade infinita de números primos"

Conxectura de Goldbach

"Pódense expresar os números pares, maiores que 2, como a suma de dous números primos?" Esta é a denominada conxectura de Goldbach, formulada en 1746 e ata hoxe non probada, a pesar de ser verificada para números da orde de ata 4*10^14.

Cantos números primos terminan co díxito 7? Serían infinitos?

Son 664.579 os números primos menores que 10 millóns, sendo que os números primos que terminan en 1, 3, 7 e 9 respectivamente son 166.104, 166.230, 166.211 e 166.032, o que corresponde a 24,99%, 25,01%, 25,01% e 24,98% deste total de números. Que suxere isto?

Hai infinitos pares de números denominados primos xemelgos?

Son números primos que diferen un do outro en apenas dúas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)

Algoritmos eficientes para a aritmética básica

Moitas das modernas aplicacións que se están levando a efecto no campo da criptografía (codificación destinada a xerar, almacenar ou ata mesmo transmitir — por exemplo, por telefonía ou máis especificamente pola Internet) — informacións secretas ou confidenciais de forma segura, dependen dalgunhas das propiedades dos números enteiros e dos números primos. Porén as aplicacións aritméticas envolvendo as propiedades dos números enteiros están directamente relacionadas á capacidade de se resolver dous problemas fundamentais:

1. o problema do test para verificar se o número é primo;
2. o problema da decomposición en factores primos;

Aparentemente son problemas de simple solución, ata que pasen a envolver numerais con decenas e ata centenas de díxitos.

Ecuacións diofantianas

Cando se procuran solucións enteiras (e ás veces racionais) para ecuacións alxébricas dos seguintes tipos:

• $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, por exemplo, que posúe infinitas solucións representadas polas ternas ordenadas (x,y,z) coñecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior dun triángulo rectángulo – a hipotenusa, e x e y os seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), soamente para citar algúns exemplos. Un conxunto de fórmulas poden facilitar a obtención das Ternas Pitagóricas: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q son combinacións de números enteiros positivos distintos, con p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocinio continúa valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Hai unha xustificativa alxébrica para tal feito? Este proceso funcionará sempre?
• $x^{n}+y^{n}=z^{n}$, que non posúe solucións non nulas para n maior ou igual a 3 (ou sexa para n > 2) que é xustamente denominado o Último Teorema de Fermat - sobre o cal o matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou nunha pequena nota escrita na marxe dunha páxina do un libro, exactamente ao lado daquela ecuación, posuír unha proba bastante simple para a mesma, mais que non se podería escribir alí, por absoluta falta de espazo. O matemático inglés Andrew Wiles finalmente en 1993, despois de ter usado unha vasta colectánea de novas técnicas e de moitas técnicas antigas da Teoría de números ben como tendo dispendido moito tempo de estudo e moitas e moitas follas de papel para resolver este misterio, anunciou a proba deste Teorema, que permanecera, por máis de 300 anos, como un desafío para os máis habilidosos matemáticos.
• $y^{2}=x^{3}+17$, que posúe exactamente 8 solucións (x,y) onde x e y son números enteiros sendo os valores de x os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52. Os valores de y poden atoparse facilmente a partir destes. Aquí o difícil será mostrar que as únicas solucións posíbeis son estas.
• Ecuacións alxébricas que posibiliten calcular todos os números enteiros positivos que poidan escribirse como suma de catro cadrados perfectos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", poden ser repetidos os cadrados perfectos, como no exemplo dado; aínda se pode, adoptar o 0 como un cadrado perfecto, como en: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 no canto de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.

Sábese que moitos números enteiros positivos non se poden escribir desta forma, e isto torna a solución deste problema bastante máis complexa. Este feito podería levar á seguinte pregunta: cantos son os números enteiros positivos menores de 10.000, que non se poden ser escribir como a suma de catro cadrados perfectos? Este problema pode ser aínda presentado como exixindo a utilización de apenas dous cadrados perfectos ou utilizando tres cadrados perfectos. Agora a solución aínda se tornaría máis difícil.

Véxase tamén

Bibliografía

• Apostol, Tom M (1976). Springer, ed. Introduction to analytic number theory. Undergraduate texts in mathematics (en inglés). ISBN 978-0-387-90163-3. 
• Becker, Oskar (1936). J. Springer Verlag, ed. "Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente". Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien (en alemán) (Berlín) 3: 533–53. 
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. Wiley, ed. A History of Mathematics (en inglés) (2ª ed.). Nova York. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Clark, Walter Eugene (trad.) (1930). University of Chicago Press, ed. The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on mathematics and astronomy (en inglés). Consultado o 29 de xaneiro de 2015. 
• Colebrooke, Henry Thomas (1817). J. Murray, ed. Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. (en inglés). Londres. Consultado o 29 de xaneiro de 2015. 
• Collette, Jean-Paul (1985). Siglo XXI Editores S.A., ed. Historia de las matemáticas (volúmenes 1 y 2) (en castelán). Madrid. ISBN 84-323-0523-5. 
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (2000). Springer, ed. Multiplicative number theory. Graduate texts in mathematics (en inglés) 74 (revisada 3ª ed.). ISBN 978-0-387-95097-6. 
• Edwards, Harold M. (Novembro 1983). Mathematical Association of America, ed. "Euler and quadratic reciprocity". Mathematics Magazine (en inglés) 56 (5): 285–291. JSTOR 2690368. doi:10.2307/2690368. 
• Fermat, Pierre de (1679). Joannis Pech, ed. Varia Opera Mathematica (en francés e latín). Toulouse. Consultado o 8 de febreiro de 2015. 
• Friberg, Jöran (Agosto 1981). Elsevier, ed. "Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations". Historia Mathematica (en inglés) 8 (3): 277–318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0. 
• von Fritz, Kurt (2004). "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum". En Christianidis, J. Classics in the History of Greek Mathematics (en inglés). Berlín: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2. 
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). "A book in search of a discipline". En Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim. The Shaping of Arithmetic after Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae" (en inglés). Berlin & Heidelberg: Springer. pp. 3–66. ISBN 978-3-540-20441-1. Consultado o 14 de abril de 2015. 
• Granville, Andrew (2008). "Analytic number theory". En Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics (en inglés). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. 
• Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). Phanes Press, ed. The Pythagorean Sourcebook and Library (en inglés). Grand Rapids, Michigan. ISBN 978-0-933999-51-0. 
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. (2008) [1938]. Oxford University Press, ed. An Introduction to the Theory of Numbers (en inglés) (6ª ed.). ISBN 978-0-19-921986-5. 
• Heath, Thomas L. (1921). Clarendon Press, ed. A History of Greek Mathematics (en inglés). 1-From Thales to Euclid. Oxford. Consultado o 6 de xaneiro de 2015. 
• Hopkins, J. F. P (1990). "Geographical and navigational literature". En Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. Religion, learning and science in the `Abbasid period. The Cambridge history of Arabic literature (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-32763-3. 
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). American Mathematical Society, ed. Analytic number theory. American Mathematical Society Colloquium Publications (en inglés) 53. Providence, Rhode Island. ISBN 0-8218-3633-1. 
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). World Scientific, ed. Fleeting Footsteps: Tracing the conception of arithmetic and algebra in ancient China (en inglés) (rev. ed.). Singapur. ISBN 978-981-238-696-0. Consultado o 13 de xaneiro de 2015. 
• Long, Calvin T. (1972). D. C. Heath and Company, ed. Elementary Introduction to Number Theory (en inglés) (2ª ed.). Lexington. LCCN 77171950. 
• Mahoney, M. S. (1994). Princeton University Press, ed. The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (en inglés) (Reprint, 2nd ed.). ISBN 978-0-691-03666-3. Consultado o 6 de febreiro de 2015. 
• Mumford, David (Marzo 2010). "Mathematics in India: reviewed by David Mumford" (PDF). Notices of the American Mathematical Society (en inglés) 57 (3): 387. ISSN 1088-9477. Consultado o 29 de xaneiro de 2015. 
• Neugebauer, Otto E. (1969). Dover Publications, ed. The exact sciences in antiquity (en inglés) (1957 (corrixida) ed.). Nova York. ISBN 978-0-486-22332-2. Consultado o 11 de xaneiro de 2015. 
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). American Oriental Society etc., ed. Mathematical cuneiform texts. American Oriental Series (en inglés) 29. 
• Pingree, David (1968). University of Chicago Press, ed. "The fragments of the works of Ya'qub ibn Tariq". Journal of Near Eastern Studies (en inglés) 26. 
• Pingree, David (1970). University of Chicago Press, ed. "The fragments of the works of al-Fazari". Journal of Near Eastern Studies (en inglés) 28. 
• Plofker, Kim (2008). Princeton University Press, ed. Mathematics in India (en inglés). ISBN 978-0-691-12067-6. 
• Proclo; Morrow, Glenn Raymond (trad.) (1992). Princeton University Press, ed. A commentary on Book 1 of Euclid's Elements (en inglés). ISBN 978-0-691-02090-7. Consultado o 13 de xaneiro de 2015. 
• Rashed, Roshdi (1980). "Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson". Archive for History of Exact Sciences (en francés) 22 (4): 305–321. doi:10.1007/BF00717654. 
• Robson, Eleanor (2001). Elsevier, ed. "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322" (PDF). Historia Mathematica (en inglés) 28 (28): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 21 de outubro de 2014. Consultado o 11 de xaneiro de 2015. 
• Sachau, Eduard (1888). Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co., ed. Alberuni's India: An account of the religion, philosophy, literature, geography, chronology, astronomy and astrology of India, Vol. 1 (en inglés). Londres. 
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. Springer, ed. A course in arithmetic. Graduate texts in mathematics (en inglés) 7. ISBN 978-0-387-90040-7. 
• Smith, D. E. (1958). Dover Publications, ed. History of Mathematics, Vol I (en inglés). Nova York. 
• Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de (1912). Imprimerie Gauthier-Villars et Fils, ed. Oeuvres de Fermat. (4 Vols.) (en Francés e Latín) 1. París. Consultado o 6 de febreiro de 2015. 
• Truesdell, C. A. (1984). "Leonard Euler, supreme geometer". En Hewlett, John (trad.). Leonard Euler, Elements of Algebra (en inglés) (reimpresión de 1840 5ª ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96014-2. Consultado o 14 de abril de 2015. 
• Varadarajan, V. S. (2006). American Mathematical Society, ed. Euler through time: a new look at old themes (en inglés). ISBN 978-0-8218-3580-7. Consultado o 14 de abril de 2015. 
• Vardi, Ilan (Abril 1998). "Archimedes' cattle problem" (PDF). American Mathematical Monthly (en inglés) 105 (4): 305–319. doi:10.2307/2589706. Consultado o 28 de xaneiro de 2015. 
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trad.) (1961). Oxford University Press, ed. Science Awakening (en inglés). Vol. 1 ou Vol. 2. Nova York. 
• Weil, André (1984). Birkhäuser, ed. Number theory: an approach through history – from Hammurapi to Legendre (en inglés). Boston. ISBN 978-0-8176-3141-3. Consultado o 28 de xaneiro de 2015. 

Outros artigos

• Aritmética

Ligazóns externas

• Keith Matthews (ed.). "Number Theory Web" (en inglés). Brisbane, Australia. Consultado o 11 de xaneiro de 2015. 
• Northern Illinois University (ed.). "11: Number theory". The Mathematical Atlas (en inglés). DeKalb, Illinois. Arquivado dende o orixinal o 10 de febreiro de 2015. Consultado o 8 de febreiro de 2015. 
• O presente artigo incorpora material traducido de Citizendium con licenza CC-by-sa 3.0: Citizendium (ed.). "Number theory" (en inglés). Consultado o 8 de febreiro de 2015. 
• Huffman, Carl A. (8/8/2011). Zalta, Edward N., ed. "Pythagoras". Stanford Encyclopaedia of Philosophy (en inglés) (Outono 2011 ed.). Consultado o 13 de xaneiro de 2015. 
• O'Grady, Patricia (setembro 2004). The Internet Encyclopaedia of Philosophy, ed. "Thales of Miletus" (en inglés). Consultado o 13 de xaneiro de 2015.