Notación posicional

A notación posicional é un modo de escritura numérica no cal cada díxito posúe un valor diferente que depende da súa posición relativa. Queda definida pola base, que é o número de díxitos necesarios para escribir calquera número.

O modo que utilizamos habitualmente é o sistema decimal (base 10), necesitándose dez díxitos diferentes, cuxo valor en orde crecente é: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para os números escritos en sistemas de bases menores úsanse os díxitos de menor valor; para os escritos con bases maiores utilízanse letras para díxitos maiores que 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, ...)

Historia

Antigas culturas, como as de Mesopotamia, o Antigo Exipto, a Antiga Grecia ou a Antiga Roma, non utilizaban a notación posicional, o que facía sumamente complexo o cálculo, e dificultaba o desenvolvemento da álxebra.

A primeira numeración de posición está documentada a comenzos do século II a.C., e foi utilizada polos eruditos de Babilonia. Posteriormente, a finais do século I a.C., empregárona os matemáticos chineses. Os sacerdotes astrónomos da civilización maia utilizárona entre os séculos IV e IX da nosa era: un sistema vixesimal cun díxito de valor cero, aínda que con algunhas peculiaridades que o privaron de posibilidade operatoria.

Foron os árabes os que impulsaron a gran innovación da notación posicional, aínda que utilizando a notación numérica hindú: un sistema decimal cun díxito de valor nulo: o cero. Leonardo de Pisa (coñecido como Fibonacci), introduciu en Occidente o sistema, no século XI.

Por cuestións técnicas, en informática optouse por un sistema numérico en base dous, utilizándose só dous díxitos: 0 e 1, pero empregando a notación posicional, pola súa gran simplicidade operativa.

Características

Utilizando a notación posicional, o mesmo díxito 5 toma diferente valor nos números 5, 50 e 500. Isto é unha consecuencia da descomposición de números en múltiplos de factores bⁿ, onde b é a base e n calquera número enteiro.

De forma máis intuitiva, descompóñense en unidades de distintas ordes, de tal forma que b unidades de calquera orde equivalen a unha dunha orde inmediatamente superior. A orde que serve de guía é a unidade, propiamente dicha (b⁰)

Por convenio, os díxitos nesta notación escríbense de esquerda a dereita (incluso en idiomas que normalmente escriben de dereita a esquerda), empezando polas ordes superiores e acabando na unidade como tal, marcando a carencia de unidades cun 0 (cero). Así, en sistema decimal:

$505=5\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}$

Se existen ordes menores que a unidade, escríbese unha coma (,) ou ('), ou un punto en determinados idiomas (.) para separalos das unidades, e se continúa escribindo de maior a menor, acabando coas unidades de menor orde.

$542,1=5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}$

Os números negativos márcanse cun signo menos (-) diante:

$-542,1=-5\cdot 10^{2}-4\cdot 10^{1}-2\cdot 10^{0}-1\cdot 10^{-1}$

Se é necesario especificar a base, escríbese como subíndice entre parénteses (loxicamente, en base decimal):

$10_{(5)}=5_{(10)}$

Os números periódicos (que posúen un grupo de cifras que se repite) teñen infinitas ordes cada vez máis pequenas cuxos múltiplos seguen un patrón. Este grupo de cifras (chamado período) pódese escribir unha vez e marcar cun arco na parte superior, ou indicando con puntos suspensivos que o número continúa:

$5,0{\widehat {3}}=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+\sum _{-2\geqslant i>-\infty }3\cdot 10^{i}...$

de forma menos rigorosa:

$5,0333...=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}+3\cdot 10^{-4}...$

Na práctica se sole usar esta última solución o directamente redondear o truncar el número.

Algoritmos para cambio de base

Estes algoritmos baséanse na descomposición en factores de bⁿ arriba mencionada. Por comodidade, todos os cálculos fanse en base decimal, pero os cálculos funcionarían igual en calquera outra base.

De base foránea a base decimal

Simplemente multiplíquese cada díxito pola potencia dependente, e despois evalúese o resultado como nunha conta normal, en base decimal.

${\mbox{5B2,E}}_{(16)}=[5\cdot 16^{2}+11\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}+14\cdot 16^{-1}]_{(10)}=[1280+176+2+0,875]_{(10)}=1458,875_{(10)}$

(recórdese que B₍₁₆₎ = 11₍₁₀₎; E₍₁₆₎ = 14₍₁₀₎)

De base decimal a base foránea

Divídase o número pola súa base até que xa non sesa posíbel. Lendo o primeiro cociente e os restos en orde inversa, pódese ler o número na base foránea.

${\begin{matrix}1458&|\!{\underline {\ 16}}&\ \\\quad \;\;{\color {Red}2}&91&|\!{\underline {\ 16}}\\\;&{\color {Red}11}&\;\ {\color {Red}5}\end{matrix}}$

$5,\ 11,\ 2\rightarrow {\mbox{5B2}}_{(16)}$

Para decimais, son necesarios algoritmos máis complexos.

Vantaxes da notación posicional

Mediante a notación posicional decimal pódese escribir calquera valor numérico con só dez díxitos diferentes (tantos como indica a base), por moi grande ou pequeno que sexa, aínda que é imprescindíbel un díxito de valor nulo, o cero, para poder operar facilmente.