Mecánica do sólido ríxido

A mecánica do sólido ríxido é aquela que estuda o movemento e equilibrio de sólidos materiais ignorando as súas deformacións. Trátase dun modelo matemático útil para estudar unha parte da mecánica de sólidos, xa que todos os sólidos reais son deformábeis. Enténdese por sólido ríxido un conxunto de puntos do espazo que se moven de tal xeito que non se alteran as distancias entre eles, sexa cal for a forza actuante (matematicamente, o movemento dun sólido ríxido vén dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Movemento dun sólido ríxido, que presenta precesión arredor da dirección do momento angular ademais de rotación arredor do seu eixo de simetría

Cinemática do sólido ríxido

Centro de gravidade

O centro de gravidade ou centro de masas dun sistema continuo é o punto xeométrico definido como:

${\vec {C}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}dm}{\int dm}}={\frac {\int {\vec {r}}dm}{M}}$

En mecánica do sólido ríxido, o centro de masa úsase porque tomando un sistema de coordenadas centrado nel, a enerxía cinética total K pode expresarse como $\scriptstyle {K={1 \over 2}MV^{2}+K_{rot}}$, sendo M a masa total do corpo, V a velocidade de translación do centro de masas e K_rot a enerxía de rotación do corpo, expresa en termos da velocidade angular e o tensor de inercia.

Velocidade angular

Sexa unha partícula calquera dun sólido ríxido o cal desprázase virando. Dado que todos os puntos están rixidamente conectados podemos facer a seguinte descomposición de posición e velocidades, tomando un punto de referencia arbitrario $\mathbf {r} _{0}$:

$\mathbf {r} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {r} _{c}(t)+\mathbf {r} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {r} _{c}(t)+A(t)\mathbf {r} _{0}$

$\mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {v} _{c}(t)+{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {R} (t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {v} _{c}(t)+{\boldsymbol {\omega }}(t)\times (\mathbf {r} (t,\mathbf {r} _{0})-\mathbf {y} _{c}(t))=\mathbf {v} _{c}(t)+{\boldsymbol {\omega }}(t)\times A(t)\mathbf {y} _{0}$

$A'(t)\mathbf {r} _{0}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times A(t)\mathbf {y} _{0}$

Onde

• $\mathbf {r}$ vector posición do punto ou partícula
• $\mathbf {r} _{c}$ posición dun punto de referencia do sólido
• $A(t)\in SO(3)$ orientación, que vén dada por unha matriz ortogonal
• $\mathbf {R}$ posición da partícula con respecto ao punto de referencia do corpo ao longo do tempo cunha orientación variábel.
• $\mathbf {r} _{0}$posición da partícula con respecto ao punto de referencia do corpo na orientación de referencia inicial.
• ${\boldsymbol {\omega }}$velocidade angular
• $\mathbf {v}$ velocidade total da partícula
• $\mathbf {v} _{c}$ velocidade "translacional" ou velocidade do punto de referencia.

Momento angular ou cinético

Artigo principal: momento angular.

O momento angular é unha magnitude física importante porque en moitos sistemas físicos constitúe unha magnitude conservada, á cal baixo certas condicións sobre as forzas é posible asociarlle unha lei de conservación. O feito de que o momento angular sexa baixo certas circunstancias unha magnitude cuxo valor permanece constante pode ser aproveitado na resolución das ecuacións de movemento. Nun instante dado, e fixado un punto do espazo nun punto do espazoL_O, defínese o momento angular dun sistema de partículas respecto dese punto como a integral seguinte:

$\mathbf {L} _{O}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} _{O}\times \mathbf {v} _{O})\quad dV$

Onde $V,\rho (\mathbf {r} )$ son o volume do sólido e a densidade másica en cada punto, e $\mathbf {v} _{O},\mathbf {r} _{O}$ son a velocidade dunha partícula do corpo e o vector de posición respecto a O.

Bibliografía

• Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6