Función gamma

En matemáticas, a función gamma (denotada como $\scriptstyle \Gamma (z)\,\!$, onde $\scriptstyle \Gamma$ é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral

Función gamma no eixe real.

Valor absoluto da función gamma no plano complexo.

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt$

converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

Definición clásica

A función gamma no plano complexo.

Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,\!$

converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)$

Esta ecuación funcional xeneraliza a relación $n!=n(n-1)!$ do factorial. Pódese avaliar $\Gamma (1)$ analiticamente:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }\left.-e^{-t}\right|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.$

Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,$

para os enteiros non negativos n.

A función gamma é unha función meromorfa de $z\in \mathbb {C}$ con polos simples en $z=-n\,\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,\dots )$ e residuos $\operatorname {Res} (\Gamma (z),-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$. Estas propiedades poden ser empregadas para estender $\Gamma (z)$ dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

Definicións alternativas

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}$

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}$

onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa $z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots$

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}$

Tamén se pode a seguinte representación integral:

$\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!$

Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes

Atopar $\Gamma (1)$ é sinxelo:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1$

Obtense logo unha fórmula para $\Gamma (n+1)$ como unha función de $\Gamma (n)$:

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx$

Empregando integración por partes para resolver a integral

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

No límite inferior obtense directamente ${\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0$.

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 1}{e^{x}}}=0$.

Polo que se anula o primeiro termo, $\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$, o que nos dá o seguinte resultado:

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx$

A parte dereita da ecuación é exactamente $n\Gamma (n)$, co que se obtén unha relación de recorrencia:

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)$.

Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

$\Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!=1\,$

$\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,$

$\Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!$

Propiedades

Da representación integral obtense:

$\lim _{z\to 0^{+}}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\infty$.

Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler

$\Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!$

e a fórmula de duplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!$

A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!$

Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\,\!$

Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}=1;\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},\,\!$

que se pode obter facendo $z=1/2$ na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con $x=e=1/2$ ou facendo a substitución $u={\sqrt {t}}$ na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense:

$\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}$    (n impar)

onde n!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,\!$

A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é:

${d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt.$

A función gamma ten un polo de orde 1 en $z=-n$ para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.\,\!$

O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de $\Gamma (z)$ para valores 0 < z < 1 é:

$\Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\left[{\frac {\gamma ^{2}}{2!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\right]z+\left[{\frac {\gamma ^{3}}{3!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\gamma +{\frac {\zeta (3)}{3}}\right]z^{2}+\dots$

Onde $\zeta (n)$ é a función zeta de Riemann.

Función pi

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é:

$\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),\,\!$

Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

$\Pi (n)=n!.\!$

A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

$\Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!$

Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

$\Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).\,\!$

Ás veces atópase a seguinte definición

$\pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},\,\!$

onde $\pi (z)$ é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

Relación con outras funcións

• Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior $\gamma (a,x)$ e inferior $\Gamma (a,x)$ obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.

$\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!$

$\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!$

• A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.\,\!$

• A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma $\psi ^{(0)}(z)$. As derivadas de maior orde son as funcións poligamma $\psi ^{(n)}(z)$.

$\psi (x)=\psi ^{0}(x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$

$\psi ^{(n)}(x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}\psi (x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n+1}\log \Gamma (x)$

• O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
• A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
• A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann $\zeta (z)$:

$\zeta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!.$

Fórmula válida só se $\operatorname {Re} (z)>1$. Tamén aparece na ecuación funcional de $\zeta (z)$:

$\pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).$

Valores da función gamma

${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Aproximacións

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

Aplicacións da función gamma

Cálculo fraccionario

A n-ésima derivada de $ax^{b}$ (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}$

como $n!=\Gamma (n+1)$ entón ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}$ onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de $x$, de $x^{2}$ e inclusive dunha constante $c=cx^{0}$:

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}$

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}$

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". History of Mathematics (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30). 
• Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". Am. Math. Monthly (66): 849–869. 
• Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers". Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Arquivado dende o orixinal o 30 de xuño de 2006. Consultado o 17 de agosto de 2016. 
• Havil, Julian (2003). gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9. 
• Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function". 
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Nova York: Dover. 
• Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press. 
• Hochstadt, Harry (1986). "3". The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover. 
• Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". Numerical Recipes in C. Cambridge: Cambridge University Press. 
• Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, Edicións Schaumm.
• Makárenko, Krasnov e Kiselev: Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.

Outros artigos

• Función beta
• Función digamma
• Función gamma elíptica
• Distribución gamma

Ligazóns externas

• Exemplos de problemas que involucran a Función gamma en Exampleproblems.com (en inglés)
• Cephes - Libraría de funcións especiais matemáticas de C e C++ (en inglés)
• Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
• Approximation Formulas - Aproximacións.
• Avaliador da función gamma de Wolfram con precisión arbitraria^{[Ligazón morta]}.
• Volume of n-Spheres and the gamma Function en MathPages (en inglés)
• Ferramenta para obter gráficas de funcións que conteñen a función gamma.
• Calculadora Función gamma