Forza centrípeta

A forza centrípeta é á forza que tira dun obxecto cara ao centro dun camiño circular mentres que o obxecto segue dita traxectoria a unha rapidez constante (sendo a rapidez a magnitude da velocidade).

O termo centrípeta provén das palabras latinas centrum (centro) e petere (dirixirse cara...), e pode ser derivada a partir das leis descubertas por Isaac Newton.

A forza centrípeta sempre actúa en forma perpendicular á dirección de movemento do corpo sobre o cal aplícase. No caso dun obxecto que se move en traxectoria circular con rapidez cambiante, a forza neta sobre o corpo pode ser descomposta nun compoñente perpendicular que cambia a dirección do movemento e unha tanxencial, paralela á velocidade.

A forza centrípeta non debe ser confundida coa forza centrífuga, tal como se explíca na sección Malentendidos Comúns

Fórmula básica

Os obxectos con movemento rectilíneo uniforme teñen unha rapidez constante, pero un obxecto que se mova nun arco con rapidez constante sofre un continuo cambio na dirección do movemento. Dado que a velocidade é un vector con módulo, dirección e sentido, un cambio na dirección, implica unha velocidade variante e xa que logo existe aceleración. A magnitude deste cambio de velocidade é coñecida como a aceleración centrípeta. Diferenciando o vector de velocidade obtemos a dirección desta aceleración cara ao centro do círculo, o cal por iso é representado co signo negativo.

$\mathbf {a} =-{\frac {v^{2}}{r}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=-\omega ^{2}\mathbf {r}$

Onde:
$\mathbf {a} \,$= vector de aceleración centrípeta.
$v\,$= módulo da velocidade (rapidez) tanxencial.
$r\,$= radio da curvatura.
$\mathbf {r} \,$= vector unitario radial.
$\omega \,$= velocidade angular.

Segundo a segunda lei de Newton, se hai unha aceleración ha de existir unha forza na dirección desta aceleración, e con módulo en función da fórmula centrípeta, que é igual a:

$\mathbf {F} =-{\frac {mv^{2}}{r}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=-m\omega ^{2}\mathbf {r}$

Onde ${m}$ é a masa do obxecto en rotación e os demais parámetros son os da anterior ecuación.

Exemplo

Supóñase que unha pelota é atada ao redor dunha corda e faise virar en círculo a velocidade angular constante. A pelota móvese nunha traxectoria circular porque a corda exerce sobre ela unha forza centrípeta.

Outro exemplo pódese ver en Modelo de Tiovivo, onde un programa realizado en linguaxe Java permite parametrizar algunha das variables que interveñen empregando un carrusel.

Malentendidos comúns

Tende a existir confusións entre a forza centrípeta e a centrífuga. A forza centrífuga é unha forza ficticia que xorde cando se usa un marco de referencia rotatorio. Para eliminala, o marco de referencia debe ser inercial (é dicir sen aceleración). Só entón pódense empregar con seguridade as leis do movemento de Newton.

Tampouco a forza centrípeta debe confundirse coa denominada forza central. A forza central é unha clase de forza física entre dous obxectos que cumpre con dúas condicións: (1) a súa magnitude depende só da distancia entre os dous obxectos e (2) a súa dirección apunta ao longo da liña que une os centros destes dous obxectos. Exemplos de forzas centrais son a forza gravitatoria entre dúas masas e a forza electrostática entre dous obxectos cargados. A forza centrípeta que mantén un obxecto en movemento circular é a miúdo unha forza central.

Probable causa da confusión na definición de forza centrífuga

A definición de forza centrífuga crea confusión debido a que non estaría explicada axeitadamente por parte da ciencia. Se se aplica o sentido común, algo di que é real. Pero a ciencia interprétaa como ficticia. En www.chilecientífico.cl (Chile) está publicado un artigo, "Análise do movemento circular", que aclararía esta confusión.

Demostración xeométrica

Figura 1: Os vectores de posición e velocidade móvense de forma circular

A fórmula descrita da Aceleración Centrípeta é posible demostrala con argumentos xeométricos recorrendo á figura anexa. O círculo á esquerda da figura mostra un obxecto que se despraza nunha traxectoria circular con rapidez constante en catro diferentes instantes. O vector posición denótase con $\mathbf {R}$ e a súa velocidade tanxencial é $\mathbf {v}$.

O vector $\mathbf {v}$ sempre é perpendicular ao vector de posición, xa que o primeiro sempre é tanxente á traxectoria; por tanto, xa que o vector $\mathbf {R}$ móvese circularmente, así tamén o fai $\mathbf {v}$. O movemento circular da velocidade móstrase no círculo á dereita da figura, xunto coa súa aceleración $\mathbf {a}$, asociada ao cambio de orientación do vector velocidade.

Xa que os vectores de posición e velocidade móvense en forma conxunta aínda que perpendicular, estes describen círculos no mesmo período ou tempo chamado T. O tempo calcúlase deste xeito:

$T={\frac {2\pi R}{v}}$

Xa que o perímetro da traxectoria circular é ${2\pi R}\,$. Por analoxía coa traxectoria da dereita da figura,

$T={\frac {2\pi v}{a}}$

Igualando ambas ecuacións, e despexando $a$ obtemos.

$a={\frac {v^{2}}{R}}$

Comparando os dous círculos da Figura 1 tamén se mostra que a aceleración apunta cara ao centro da circunferencia, en forma oposta ao vector $\mathbf {R} \,$.

Derivación usando cálculo

Outra estratexia para deducir a ecuación da aceleración centrípeta é usar un Sistema de coordenadas polares, supongo que o radio da traxectoria é constante e aplicar a derivación dúas veces.

Sexa $\mathbf {R(t)}$ un vector que describe a posición dunha masa puntual, como función do tempo. Posto que se asume que existe movemento circular uniforme, sexa $\mathbf {R(t)} =r\mathbf {u_{r}}$, onde $r\!$ é unha constante (o raio do círculo) e $\mathbf {u_{r}}$ é o vector unitario que apunta dende a orixe ata a masa puntual. A dirección deste vector é descrita por $\theta \,$, que é o ángulo entre o eixo x e o vector unitario, medido en sentido contrario ás agullas do reloxo dende dito eixo. En termos de coordenadas cartesianas, nas direccións dos eixos $x\!$ e $y\!$ ($\mathbf {i}$ e $\mathbf {j}$, respectivamente) o vector unitario exprésase así:

$\mathbf {u_{r}} =\cos \theta \mathbf {i} +\sin \theta \mathbf {j} \,$

Nota: a diferenza dos vectores unitarios cartesianos, os cales son constantes, en Coordenadas polares a dirección dos vectores unitarios depende do ángulo $\theta \,$, e en xeral teñen derivadas respecto ao tempo non nulas.

Derivando a $\mathbf {R(t)}$ para achar a velociade, obtense:

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {R(t)} }{dt}}=r{\frac {d\mathbf {u_{r}} }{dt}}\,$.

$\mathbf {v} =r{\frac {d\mathbf {(} {\cos \theta \mathbf {i} +\sin \theta \mathbf {j} })}{dt}}\,$.

$\mathbf {v} =r(-{\sin \theta \mathbf {i} }+\cos \theta \mathbf {j} ){\frac {d\theta }{dt}}\,$

Pero a expresión entre parénteses, como se pode demostrar, corresponde a un vector perpendicular a $\mathbf {u_{r}}$ que denominamos $\mathbf {u_{\theta }}$ e que apunta en dirección de valores crecentes de $\theta \,$.

Por tanto:

$\mathbf {v} =r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u_{\theta }} \,$

$\mathbf {v} =r\omega \mathbf {u_{\theta }} \,$

Onde:

$\omega \,$: velocidad angular (expresable tamén como ${\frac {d\theta }{dt}}$)

Este resultado é consistente coa expectativa de que a velocidade debe dirixirse ao redor do círculo e que a magnitude da mesma debe ser $r\omega \!$.

Derivando novamente $\mathbf {v}$, e observando que:

${\frac {d\mathbf {u_{\theta }} }{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u_{r}} \,$

Se encontra que a aceleración, $\mathbf {a} \,$ é:

$\mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u_{\theta }} -\omega ^{2}\mathbf {u_{r}} \right)\,$

Así, o compoñente radial da aceleración é:

$\mathbf {a} _{\mathrm {r} }=-\omega ^{2}r\,$

Dende logo, se a velocidade angular $\omega \!$ é constante, o compoñente tanxencial $\mathbf {a_{\theta }}$ faise nulo, a diferenza do compoñente radial.

Véxase tamén

Outros artigos

• Efecto Coriolis
• Forza centrífuga
• Movemento circular