Estatística de Maxwell-Boltzmann

En física, a estatística de Maxwell-Boltzmann é unha función estatística desenvolvida para modelar o comportamento de sistemas físicos rexidos pola mecánica clásica. Esta función estatística clásica, formulada orixinalmente polos físicos J.C. Maxwell e L. Boltzmann, rexe a distribución dun conxunto de partículas en función dos posibles valores de enerxía dos estados que estas poden ocupar. Para cada sistema termodinámico, a distribución de Maxwell-Boltzmann non é outra cousa que a aplicación do colectivo canónico da mecánica estatística, baixo o suposto non-cuántico de que os números de ocupación de cada estado dispoñible son pequenos comparados co número máximo de ocupación.

Representación gráfica da función densidade de distribución de Maxwell-Boltzmann.

Esta función é unha densidade de probabilidade cuxa expresión é:

$f(\epsilon _{i})=A(N;T)e^{-\epsilon _{i}/kT}$

Ou de forma máis xeneralizada, pode expresarse como:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}$

Onde:

• $A(N;T)$: é unha función dependente de $N$, o número de partículas no sistema e de $T$, a temperatura do sistema en Kelvin.
• $N_{i}$ é o número de partículas no estado i.
• $\epsilon _{i}$ é a enerxía do estado i-ésimo.
• $g_{i}$ é a dexeneración do nivel de enerxía i, é dicir, o número de estados (excluíndo o estado de partícula libre) con enerxía $\epsilon _{i}$.
• $\mu$ é o potencial químico.
• $k$ é a constante de Boltzmann.
• $N$ é o número total de partículas:

$N=\sum _{i}N_{i}\,$

• $Z$ é a función partición:

$Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}$

• $e$ é o número de Euler.

A distribución de Maxwell-Boltzmann aplicouse especialmente á teoría cinética de gases, e outros sistemas físicos, ademais de en econofísica para predicir la distribución da renda. En realidade a distribución de Maxwell-Boltzmann é aplicable a calquera sistema formado por N "partículas" ou "individuos" que intercambian estacionariamente entre si unha certa magnitude M e cada un deles ten unha cantidade m_i da magnitude M e ao longo do tempo se cumpre que M := m₁+m₂+...+ m_N.

Límites de aplicación

Para un sistema de partículas cuánticas, a hipótese de que $N_{i}$ sexa substancialmente menor que $g_{i}$ para os estados diferentes do fundamental en xeral non se cumprirá e é necesario acudir á estatística de Bose-Einstein se as partículas son bosónicas ou á estatística de Fermi-Dirac si as partículas son fermiónicas.

As estatísticas de Fermi–Dirac (+) e Bose–Einstein (−) poden ser expresadas como:

$N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}$

Asumindo que o valor mínimo de $\epsilon _{i}$ é bastante pequeno, pódese verificar que a condición na cal a distribución de Maxwell-Boltzmann é válida é cando se cumpre que:

$e^{-\mu /kT}\gg 1$

Para un gas ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvemento da ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que :

$\mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)$

onde $E$ é a enerxía interna total, $S$ é a entropía, $V$ é o volume, e $\Lambda$ é a lonxitude de onda térmica de De Broglie. A condición de aplicación para a distribución Maxwell-Boltzmann nun gas ideal resulta:

${\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Distribución de probabilidade
• Estatística de Fermi-Dirac
• Estatística de Bose-Einstein

Bibliografía

• Selva, Rodolfo N. (abril de 1997). "Capítulo IV". En La Llave Ediciones S.R.L. Dispositivos Electrónicos (1ra edición ed.). Buenos Aires. pp. 84 a 99. ISBN 950-795-009-5.