Distribución hiperxeométrica

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Distribución hiperxeométrica

Función de masa de probabilidade
Función de distribución
Parámetros	$N\in \{0,1,2,\dots \}$ $m\in \{0,1,2,\dots ,N\}$ $n\in \{0,1,2,\dots ,N\}\,$
Soporte	$\scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,$
Función de densidade	${{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
Función de distribución
Media	$nm \over N$
Mediana
Moda	$\left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Varianza	$n(m/N)(1-(m/N))(N-n) \over (N-1)$
Asimetría	${\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Curtose	$\left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]$ $\cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.$ $+\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]$
Entropía
F. xeradora de momentos	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
Func. caract.	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

A distribución hiperxeométrica é unha distribución de probabilidade discreta relacionada coas mostraxes aleatorias e sen substitución. Supoñendo que se ten unha poboación de N elementos dos cales, d pertencen á categoría A e N-d á B. A distribución hiperxeométrica mide a probabilidade de obter x ($0\leq x\leq d$) elementos da categoría A nunha mostra sen substitución de n elementos da poboación orixinal.

Propiedades

A función de probabilidade dunha variable aleatoria con distribución hiperxeométrica pode deducirse empregando razoamentos combinatorios e é igual a

$P(X=x)={\frac {{d \choose x}{N-d \choose n-x}}{N \choose n}},$

onde:

• $N$ é o tamaño da poboación
• $n$ é o tamaño da mostra extraída
• $d$ é o número de elementos da poboación orixinal que pertencen á categoría desexada
• $x$ é o número de elementos na mostra que pertencen a esa categoría.

A notación ${a \choose x}$ fai referencia ao coeficiente binomial, é dicir, o números de combinacións posibles ao seleccionar $x$ elementos dun total $a$.

O valor esperado dunha variable aleatoria X que segue a distribución hiperxeométrica é

$E[X]={\frac {nd}{N}}$

e a súa varianza,

$Var[X]={\bigg (}{\frac {N-n}{N-1}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {nd}{N}}{\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {d}{N}}{\bigg )}.$

Definindo na fórmula anterior

$p={\frac {d}{N}}$

e

$q=1-p\,,$

obtense

$Var[X]=npq{\frac {N-n}{N-1}}.$

Relación con outras distribucións

A distribución hiperxeométrica aplícase a mostraxes sen substitución e a binomial a mostraxes con substitución. En situación nas que o número esperado de repeticións na mostraxe é supostamente baixo pode aproximarse a primeira pola segunda. Isto é así cando N é grande e o tamaño relativo da mostra extraída, n/N, é pequeno.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Calculadora da probabilidade dunha distribución hiperxeométrica(en inglés)
• Calculadora Distribución hiperxeométrica(en castelán)