Complemento a dous

O complemento a dous dun número N que, expresado no sistema binario con n díxitos, defínese como $C_{2}^{N}=2^{n}-N$

Binario (positivo) - Complemento a 2 (negativo)	Decimal
0111	7
0110	6
0101	5
0100	4
0011	3
0010	2
0001	1
0000	0
1111	−1
1110	−2
1101	−3
1100	−4
1011	−5
1010	−6
1001	−7
1000	−8

Complemento a dous con enteiros de 4 bits

O total de números positivos será $2^{n-1}-1$ e o de negativos $2^{n-1}$, sendo $n$ o número máximo de bits. O $0$ contaría á parte.

Vexamos un exemplo: tomemos o número que, cando se expresa en binario é $N=45$, con 6 díxitos, e calculemos o seu complemento a dous: $N=101101_{2}$

$N=45$, $n=6$; $2^{6}=64$ e, por tanto: $C_{2}^{N}=64-45=010011_{2}$

Pode parecer confuso, pero é moi fácil obter o complemento a dous dun número a partir do seu complemento a un, porque o complemento a dous dun número binario é unha unidade maior que o seu complemento a un, é dicir:

$C_{2}^{N}=C_{1}^{N}+1$

Cómpre sinalar que neste exemplo limitouse o número de bits a $6$, polo que non sería posible distinguir entre o -45 e o 19 (o 19 en binario é $10011$). En realidade, un número en complemento a dous exprésase cunha cantidade arbitraria de uns á esquerda, da mesma maneira que un número binario positivo exprésase cunha cantidade arbitraria de ceros. Así, o -45, expresado en complemento a dous usando $8$ bits sería $11010011$, mentres que o 19 sería $00010011$; e expresados en $16$ bits serían $1111111111010011$ e $0000000000010011$ respectivamente. Preséntase a táboa de verdade do complemento a 2 para catro díxitos.

Cálculo do complemento a dous

O cálculo do complemento a dous é moi sinxelo e moi fácil de realizar mediante portas lóxicas, onde reside a súa utilidade.

Para comezar, os números positivos quedarán igual na súa representación binaria. Nos números negativos deberemos inverter o valor de cada unha das súas cifras, é dicir realizar o complemento a un, e sumarlle 1 ao número obtido. Podemos observar isto na táboa de exemplo.

Cabe lembrar que debido á utilización dun bit para representar o signo, o rango de valores será diferente ao dunha representación binaria habitual; o rango de valores decimais para $n$ bits será: $-2^{n-1}\leq \ Rango\leq \ 2^{n-1}-1$

Conversión rápida

Unha forma de achar o oposto dun número binario positivo en complemento a dous é comezar pola dereita (o díxito menos significativo), copiando o número orixinal (de dereita a esquerda) até atopar o primeiro 1, despois de copiar o 1, néganse (complementan) os díxitos restantes (é dicir, copia un 0 se aparece un 1, ou un 1 se aparece un 0). Este método é moito máis rápido para as persoas, pois non utiliza o complemento a un na súa conversión. Por exemplo, o complemento a dous de «0011 11010» é «1100 00110»-

Outra forma é negar todos os díxitos (áchase o complemento a 1) e despois sumar un 1 ao resultado, vén ser o mesmo que o anteriormente explicado.

$100001--->011110-->011111$

É equivalente negar todos os díxitos facendo XOR contra un número coa mesma cantidade de díxitos binarios pero cheo de uns e sumar 1 ao resultado. Na práctica podería explicarse como:

$100001$ XOR $111111=011110$ e agregando 1 $=011111$

Para implementalo nunha rutina escrita na linguaxe de programación C, asumindo que $x$ é a cantidade á que se lle calculará o complemento a 2, $n$ o número máximo de bits das cantidades representadas e $e$ a variable onde se almacenará o resultado. O cálculo podería escribirse como:

y=((x^^(2^n-1)++))&&(2^n-1);

Se $n$ non vai cambiar ao longo do programa, pode substituírse como unha constante e con iso acelerar o cálculo e diminuír os recursos de cómputo consumidos. Por exemplo, se todos os cálculos son en $8$ bits, a rutina anterior podería simplificarse a:

y=((x^^0xFF)++)&&0xFF;

Aplicacións

A súa utilidade principal atópase nas operacións matemáticas con números binarios. En particular, a resta de números binarios facilítase enormemente utilizando o complemento a dous: esta pode obterse sumando ao minuendo o complemento a dous do sustraendo. Utilízase porque a unidade aritmético-lóxica non resta números binarios, suma binarios negativos, por iso esta conversión ao negativo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Complemento a un
• Aritmética de saturación