Círculo de Mohr

O Círculo de Mohr (estritamente sería a circunferencia de Mohr) é unha técnica usada en enxeñaría e xeofísica para representar graficamente un tensor simétrico (de 2x2 ou de 3x3) e calcular con el momentos de inercia, deformacións e tensións, adaptando os mesmos ás características dunha circunferencia (radio, centro etc). Tamén é posible co círculo o cálculo do esforzo cortante máximo absoluto e a deformación máxima absoluta.

Este método foi desenvolvido por 1882 polo enxeñeiro civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

Circunferencia de Mohr para esforzos

Caso bidimensional

Círculo de Mohr para esforzos.

En dúas dimensións, o Círculo de Mohr permite determinar a tensión máxima e mínima, a partir das medicións da tensión normal e tanxencial sobre dous ángulos que forman 90º:

${\begin{cases}{\text{medida 1}}&(\sigma _{x},\tau )\\{\text{medida 2}}&(\sigma _{y},-\tau )\end{cases}}$

NOTA: O eixe vertical encóntrase invertido, polo que os esforzos positivos sinálanse abaixo e os esforzos negativos localízanse na parte superior.

Usando eixes rectangulares, onde o eixe horizontal representa a tensión normal $\left(\sigma \right)$ e o eixe vertical representa a tensión cortante ou tanxencial $\left(\tau \right)$ para cada un dos planos anteriores. Os valores da circunferencia fidan representados do seguinte xeito:

• Centro do círculo de Mohr:

$C:=(\sigma \ _{\text{med}},0)=\left({\frac {\sigma \ _{x}+\sigma \ _{y}}{2}},0\right)$

• Radio da circunferencia de Mohr:

$r:={\sqrt {\left({\frac {\sigma \ _{x}-\sigma \ _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau \ _{xy}^{2}}}$

As tensións máxima e mínima veñen dadas en termos desas magnitudes simplemente por:

$\sigma _{\text{max}}=\sigma _{\text{med}}+r\qquad \sigma _{\text{min}}=\sigma _{\text{med}}-r$

Estes valores pódense obter tamén calculando os valores propios do tensor tensión que neste caso vén dado por:

$\mathbf {T} \vert _{x,y}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau \\\tau &\sigma _{y}\end{bmatrix}}$

Caso tridimensional

O caso do estado tensional dun punto P dun sólido tridimensional é máis complicado xa que matematicamente represéntase por unha matriz de 3x3 para a que existen 3 valores propios, non necesariamente diferentes.

$\mathbf {T} \vert _{x,y,z}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$

No caso xeral, as tensións normal (σ) e tanxencial (τ), medidas sobre calquera plano que pase polo punto P, representadas no diagrama (σ,τ) caen sempre dentro dunha rexión delimitada por 3 círculos. Isto é máis complexo que o caso bidimensional, onde o estado tensional caía sempre sobre unha única circunferencia. Cada unha das 3 circunferencias que delimitan a rexión de posibles pares (σ,τ) coñécese co nome de circunferencia de Mohr.

Círculo de Mohr con momentos de inercia

Para sólidos planos ou case-planos, pode aplicarse a mesma técnica da circunferencia de Mohr que se usou para tensións en dúas dimensións. Ao calcular o momento de inercia arredor dun eixe que se encontra inclinado, a circunferencia de Mohr pode ser utilizado para obter este valor. Tamén é posible obter os momentos de inercia principais. Neste caso as fórmulas de cálculo do momento de inercia medio e o radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas ás de cálculo de esforzos:

• Centro da circunferencia:

$C:=(I_{\text{med}},0)=\left({\frac {I_{x}+I_{y}}{2}},0\right)$

• Radio da circunferencia:

$r:={\sqrt {\left({\frac {I_{x}-I_{y}}{2}}\right)^{2}+I_{xy}^{2}}}$

Véxase tamén

Ligazóns externas

• "Círculo de Mohr para esfuerzos" [Círculo de Mohr para esforzos] (en castelán). Arquivado dende o orixinal o 29 de novembro de 2012. Consultado o 25 de xaneiro de 2010.