Infinitesimal: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
Sen resumo de edición |
Sen resumo de edición |
||
Liña 2:
Un infinitesimal é apenas unha cantidade notacional - non hai ningún número real que sexa un infinitesimal. Isto pode demostrarse recorrendo ao [[axioma]] do [[supremum|menor maiorante]] no contexto dos números reais: considerar se o menor maiorante ''c'' do conxunto de todos os infinitesimais é ou non un infinitesimal. Se for, entón 2''c'' tamén é, contradicindo así o feito de que ''c'' é un maiorante do referido conxunto. Se non for, entón ''c''/2 tamén non é, contradicindo o feito de que ''c'' é o menor dos maiorantes.
==Definición==
Un '''infinitesimal''' ou infinitésimo é unha cantidade infinitamente pequena. Pódese definir matemáticamente como:
<math>\lim_{x \to a}f(x) = 0</math> dise que f é un infinitésimo en x=a
Algunas funcións son infinitésimos en determinados puntos, por exemplo:
:f(x) = x-1 é un infinitésimo en x=1
:g(x) = sen(x) é un infinitésimo en <math>0 + k \pi</math> con <math>k \in \mathbb{Z}</math>
==Propedades dos infinitésimos==
# A suma de dous infinitésimos é un infinitésimo.
# O produto de dous infinitésimos é un infinitésimo.
# O produto dun infinitésimo por unha [[función matemática|función]] acoutada é un infinitésimo.
# O produto dunha constante por un infinitésimo é un infinitésimo.
==Comparación de infinitésimos==
Dadas <math>\lim_{x \to a}f(x) = 0</math> e <math>\lim_{x \to a} g(x) = 0</math>
#Se <math>\lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \infin</math> f e g son infinitésimos comparábeis en x=a e f é un infinitésimo de orde inferior a g en x=a
#Se <math>\lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l</math> con l pertencente a <math>\mathbb{R}</math> f e g son infinitésimos comparábeis en x=a
:Se <math>\lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l</math> con l pertencente a <math>\mathbb{R} - \left\{0\right\}</math> f e g son infinitésimos da mesma orde en x=a
#En particular, se <math>\lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = 1</math> f é un infinitésimo equivalente en x=a <br /><br />
== Uso ao longo da historia ==
O primeiro matemático en usar infinitesimais foi [[Arquimedes]]. Vexa en [[como Arquimedes usou infinitesimais]].
| |||