Axiomas de Tarski: Diferenzas entre revisións

Contido eliminado Contido engadido
Jglamela (conversa | contribucións)
Retiro marcador
Liña 52:
[[Ficheiro:Tarski's_formulation_of_Pasch's_axiom.svg|dereita|miniatura|Axioma de Pasch]]
* Identidade na relación "situado entre": <math>Bxyx \rightarrow x=y.</math>. O único punto no segmento de liña <math>xx</math> é o propio <math>x</math>
* [[Axioma de Pasch]]: <math>Bxyz \lor Byzx \lor Bzxy \lor \exists a\, (xa \equiv ya \land xa \equiv za)</math>. As dúas diagonais do [[cuadrilátero]] <math>xuvy</math> tenñenteñen que cortarse nalgún punto.
[[Ficheiro:Tarski's_continuity_axiom.svg|dereita|miniatura|Continuidade: φ e ψ dividen o segmento en dúas metades e o axioma afirma a existencia dun punto ''b'' que divide aquelas dúas metades]]
* [[Esquema de axioma]] de continuidade:
Liña 59:
: '''B''':<math>Bxyz \lor Byzx \lor Bzxy \lor \exists a\, (xa \equiv ya \land xa \equiv za).</math>
 
Sexa ''r'' unha semirrectasemirecta con punto inical ''a''. Sexan as fórmulas de primeira orde φ e ψ definindo subconxuntos ''X'' e ''Y'' de ''r'', tales que cada punto en ''Y'' está á dereita de cada punto de ''X'' (con respecto a un punto ''a''). Entón existe un punto ''b'' en ''r'' entre ''X'' e ''Y''. Isto é esencialmente a construción do [[corte de Dedekind]], levado a cabo nun xeito que evita cuantificación sobre conxuntos.
 
* [[Dimensión]] máis baixa: <math>\exists a \, \exists b\, \exists c\, [\neg Babc \land \neg Bbca \land \neg Bcab]</math>. Existen tres puntos non colineares. Sen este axioma, a teoría podería ser modelada pola liña real unidimensional, un único punto, ou mesmo o conxunto baleiro.
Liña 69:
 
* Axioma de Euclides
Cada unha das tres variantes deste axioma, todas equivalentes xunto cos restasntesrestantes axiomas de Tarski, ao [[Postulado paralelo|postulado das paralelas]] de Euclides, ten unha vantaxe sobre os outros, a variante '''A''' non ten cuantificadores existenciais; a variante '''B''' ten o menor número de varialbesvariables e de sentenzas atómicas; e a variante '''C''' require unicamente dunha noción primitiva, "estar entre". Esta variante é a habitualmente dada na literatura:
 
: '''A''': <math>((Bxyw \land xy \equiv yw ) \land (Bxuv \land xu \equiv uv) \land (Byuz \land yu \equiv zu)) \rightarrow yz \equiv vw.</math>
Liña 134:
 
== Comparación con Hilbert ==
Os axiomas de Hilbert para o plano son un total de 16, e inclúen a transitividade da congruencia e unha variante do axioma de Pasch. A única noción invocada desde a xeometría intuitiva invocada nos comentarios aos axiomas de Tarski é a de [[triángulo]]. (As versións '''B''' e '''C''' do axioma de Euclides refírense a "círculo" e "ángulo," respectivamente.) Os axiomas de Hilbert tamén requiren as nocións de "raio", "ángulo," e a dun triángulo que "inclúe" un ángulo. Alén da relación "estar entre" e a congruencia, os axiomas necesitan a relación binaria "encima," vinculando un punto e unha liña. O [[esquema de axiomas]] da continuidade xoga unha función similar aos dous axiomas de continuidade de Hilbert. Este esquema é indispensable; a [[xeometría euclidiana]] na linguaxe deTarski (ou equivalente) non pode ser finitamente axiomatizada como [[lóxica de primeira orde|teoría de primeira orde]]. Os axiomas de Hilbert non constitúen unha teoría de primeira orde porque os seus axiomas de continuidade requerenrequiren da lóxica de segunda orde.
 
Os primeiros catro grupos de axiomas de Hilbert para xeometría plana son bi-interpretables cos axiomas de Tarski agás a continuidade.