Espiral de Arquímedes: Diferenzas entre revisións

Contido eliminado Contido engadido
Creada como tradución da páxina "Espiral de Arquímedes"
(Sen diferenzas.)

Revisión como estaba o 3 de xullo de 2020 ás 12:04

A espiral de Arquímedes (tamén espiral aritmética) obtivo o seu nome do matemático grego Arquímedes, quen viviu no século III a. C. Defínese como o lugar xeométrico dun punto movéndose a velocidade constante sobre una recta que xira sobre un punto de orixe fixa a velocidade angular constante. De maneira equivalente, en coordenadas polares (r,θ) a espiral de Arquímedes pode ser descrita pola seguinte ecuación:

Tres voltas completas dunha espiral de Arquímedes.
Espiral de Arquímedes representada nunha gráfica polar.

sendo a e b números reais. Cando o parámetro a cambia, a espiral desprázase no eixo X, mentres que b controla a distancia entre xiros sucesivos.

Arquímedes describiu esta espiral no seu libro Das Espirais.

Características

 
A subnormal polar dunha espiral de Arquímedes é constante.

A espiral de Arquimedes pódese trazar dentro dunha circunferencia e conforme vai crecendo vaise afastando un arco doutro.

A subnormal polar dunha espiral de Arquímedes é constante.[1]

Esta curva distínguese da espiral logarítmica polo feito de que, voltas sucesivas da mesma teñen distancias de separación constantes (iguais a 2πb se θ é medido en radiáns), mentres que nunha espiral logarítmica a separación está dada por unha progresión xeométrica.[2] (As distancias referidas son medidas sobre una recta que pasa polo centro da espiral)

Hai que notar que a espiral de Arquímedes ten dous brazos, un paira θ > 0 e outro paira θ < 0. Os dous brazos están discretamente conectados na orixe e só se mostra un deles na gráfica. Tomando a imaxe reflectida no eixo Y produciremos o outro brazo.

Ás veces, o termo é usado pira un grupo máis xeral de espirais.

 

A espiral normal dáse cando x = 1. Outras espirais que caen dentro do grupo inclúen a espiral hiperbólica, a espiral de Fermat, e o Lituus. Virtualmente todas as espirais estáticas que aparecen na natureza son espirais logarítmicas, non de Arquímedes. Moitas espirais dinámicas (como a espiral de Parker do vento solar, ou o patrón producido por unha roda de Catherine) son do grupo de Arquímedes.

Aplicacións e Usos

Mecanismo dunha bomba de desprazamento

 
Rectificación da circunferencia utilizando a espiral de Arquímedes.

A espiral de Arquímedes ten una plétora de aplicacións. Por exemplo, empréganse en bombas de compresión ou compresores rotativos (scroll pumps), feitos de dúas espirais de Arquímedes do mesmo tamaño intercaladas, para comprimir líquidos e gases. Este é un mecanismo corrente en máquinas de aire acondicionado con baixas emisións de ruído.[3]

Os sucos das primeiras gravacións para gramófonos (Disco de vinilo) forman una espiral de Arquímedes, facendo os sucos igualmente espaciados e maximizando o tempo de gravación que podería acomodarse dentro da gravación (aínda que isto foi cambiado posteriormente para incrementar a calidade do son).

Pedirlle a un paciente que debuxe una espiral de Arquímedes é una maneira de cuantificar o tremor humano; esta información axuda no diagnóstico de enfermidades neurolóxicas. Estas espirais son tamén usadas en sistemas DLP de proxección paira minimizar o efecto de arco da vella, que simula un despregamento de varias cores ao mesmo tempo, cando en realidade se proxectan ciclos de vermello, verde e azul rapidamente.

Un método para a cuadratura do círculo, relaxando as limitacións estritas no uso dunha regra e un compás nas probas xeométricas da Grecia antiga, fai uso da espiral de Arquímedes. Tamén existe un método paira trisectar ángulos baseado no uso desta espiral. Como a lonxitude da subtanxente   se pode utilizar para rectificar a circunferencia.

Véxase tamén

Referencias

  1. Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador..
  2. Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
  3. Mitsunaga (1996). "Compresor espiral." (PDF). Oficina Española de Patentes y Marcas. Consultado o 13 de junio de 2018. 

Ligazóns externas

  • Mac Titor History of Mathematics Arquive, Spiral of Archimedes.
  • FooPlot (ferramenta que pode mostrar gráficas de funcións en coordenadas polares).