Identidade de Bézout: Diferenzas entre revisións

CandoAo calcular un par de coeficientes de Bézout ({{Math|(''x'', ''y'')}}, {{Math|(''x'',por ''y'')}}) son calculados (e.g.exemplo, utilizando o algoritmo de Euclides estendido), tódolostodos paresestes podenpares serpódense representadosrepresentar coada forma

Ondeonde {{Math|''k''}} é uncerto enteironúmero arbitrarioenteiro, e as fraccións simplifican a enteiros.

Entre estes pares de coeficientes de Bézout, hai exactamente dous deles que satisfán

Ee aestes igualdadedous sópares ocorreserán seiguais de dividir {{Math|''a''}} ou {{Math|''b''}} divide ao outro.

EstasEstes dúasdous parellaspares de coeficientes de Bézout pequenos son obtidas desde ado parellapar {{Math|(''x'', ''y'')}} inicial, ao escoller o {{Math|''k''}} na fórmula de riba algún dos dous enteiros próximopróximos a <math>\frac{-x}{b/\gcd(a,b)}</math> .

O algoritmo de Euclides estendido sempre produce unhaun destasdestes dúasdous parellas mínimospares.

Sexa ''a'' = 12 e ''b'' = 42, gcd (12, 42) = 6. Entón temos aas seguinteseguintes identidadeidentidades de Bézout, cos coeficientes de Bézout, escritos en vermello, parano ascaso parellasdos mínimaspares mínimos, e en azul ostódolos demais.

Se {{Math|1=(x, y) = (18, -5)}} é ao parellapar orixinal de coeficientes de Bézout, entón <math> \frac{-18}{42/6} \in [-3,-2]</math> produce asos parellaspares mínimos con {{Math|1=''k'' = 3}} e {{Math|1=''k'' = -2}}, respectivamente: {{Math|1=(18-3⋅7, -5+3⋅2) = (-3, 1)}} e {{Math|1=(18-2⋅7, -5+2⋅2) = (4, -1)}}.

Sexan ''a'' e ''b'' dous enteiros non nulos calquera. Definimos a partir deles o conxunto<math> S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \ \text{ e } \ ax+by>0\}</math>, que trivialmente non estáé baleiro, xa que conténten comoque poucoconter aos enteiros ''a'' e ''–a'' (con {{Math|1=''x'' = ±1}} e {{Math|1=''y'' = 0}}). Como ''S'' é un conxunto de enteiros positivo non baleiro, ten un elemento mínimo <math> d = as + bt</math>, polo [[principio da boa ordenación]]. Para probar que ''d'' é o máximo común divisor de ''a'' e ''b'', temos que probar dúas cousasː que ''d'' é un divisor común de ''a'' e ''b'', e que para calquera outro común divisor ''c'', uncumpre tenque {{Math|''c'' < ''d''}}.

A división euclidiana de ''a'' por ''d'' pode ser escritoescrita como

A identidade de Bézout pódese estender a máis de dous enteiros: se

A identidade de Bézout funciona para [[Polinomio|polinomios dunha variábel]] sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] exactamente do mesmo xeitos que cos enteiros. En particular os coeficientes de Bézout e o máximo común divisor pode ser computado co [[Extended Euclidean algorithm|algoritmo de Euclides estendido]].

A identidade de Bézout pode ser escrita non soamente no [[Anel (álxebra)|anel]] de enteiros relativos, mais tamén en calquera outro dominio de ideais principais (DIP). (Nótese que, neste caso, o máximo común divisor enténdese no sentido da relación de preorde fornecida pola divisibilidade no anel, e a unicidade deste preservase baixo un factor invertíbel do anel) Isto é que, se ''R'' é un DIP, e ''a'' e ''b'' pertencen a ''R'', entón existe un máximo común divisor ''d'' de ''a'' e ''b'' e existen elementos ''x'' e ''y'' en R tal aquel ''ax'' + ''py'' = ''d''.

{{Cita libro|author=Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac)|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|edition=2nd|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|year=1624|pages= 18–33|url=http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de}} Nestas páxinas, Bachet proba (sen ecuacións) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Dados dous números primos entre eles, enonctraratopar elo menor mútliplomúltiplo de cada un de eles tal que un múltiplo exceda ao outro por unha unidade (1).) Este problema (renomeandoreescrito, ax - by = 1) é un caso especial da ecuación de Bézout, e Bachetfoi fixousada usopor delaBachet para resolver problemas dasque páxinasaparecen na 199 e seguintes.