Diferenzas entre revisións de «Factorización»

m
sen resumo de edición
m
: <math>(x-a)(x-b)(x-c),</math>
 
que só ten dúas multiplicacións e tres subtraccións. Ademais, a forma factorizada amosa con claridade as [[Raíz (homónimos)dunha función|raíces]] ''x = a,b,c'' do polinomio en ''x'' representado por esta expresión.
 
Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, <math>x^{997}-1</math>pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: <math>x-1</math> e <math>x^{996}+x^{995}+\cdots+x^2+x+1</math>.
Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución de [[ecuación de segundo grao]].
 
Outro exemplo é a factorización de <math>x^4 + 1</math>, que un presenta a [[Unidade imaxinaria|raíz cadrada]] [[Número complexo|imaxinaria]] de –1, xeralmente denotado como ''i'', entón tense unha diferenza de termos<math>x^4 + 1.</math>
 
: <math>x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).</math>
 
Con todo, pódese tamén querer ununha factorización con coeficientes de [[Número real|números reais]]. Sumando e restando <math>2x^2,</math> e agrupaciónagrupacndo tres termos xuntos, un pode recoñecer ao termo dun binomial
 
: <math>x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2= (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2 +1\right)\left(x^2-x\sqrt2 +1\right).</math>
 
Sumar e restar <math>2x^2,</math> tamén levaacádase áa factorización
 
: <math>x^4+1=\left(x^2+x\sqrt{-2} -1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2} -1\right).</math>
 
=== Patróns recoñecíbeis ===
Moitas [[Identidade (matemáticas)|identidades]] proporcionan igualdades entre unha suma e un produto. Os métodos anteriormente descritos poden ser utilizados para deixar illar na expresión a parte da suma, para despois substituíla por un produto.
 
Nas seguintes identidades, o lado dereito será usado como patrón. Deste xeito, as variábeis ''E'' e ''F'' que aparecen na identidades poden representar calquera subexpresión da expresión da expresión a factorizar.<ref>{{harvnb|Selby|1970|p=101}}</ref>
 
*; Diferenza de dous cadrados
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,</math>
 
onde {{Math|''P''(''x'')}} é un polinomio en ''x'', tal que <math>a_0\ne 0.</math>. A solución desta ecuación, ou [[Raíz (homónimos)dunha función|raíz]] do polinomio, é un valor ''r'' de ''x'' tal que
 
: <math>P(r)=0.</math>
 
=== Utilizando o teorema do factor ===
{{Artigo principal|Teorema do factor}}O [[teorema do factor]] expón que, se ''r'' é [[Raíz dunha función|raíz]] dun [[polinomio]]
 
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_0</math>
con <math>a_0=b_0,</math> e <math>b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n'' – 1}}
 
Isto pode ser útil cando, tanto dunha inspección ou dunha información externa, cóñecesecoñecese unha raíz do polinomio. Para calcular ''Q(x)'', no lugar de utilizar fórmula anterior, tamén é posíbel usar a [[regra de Ruffini]].
 
Por exemplo, para o polinomio <math>x^3 - 3x + 2,</math>un facilmente podería ver que a suma dos seus coeficientes é 0. Por isto, {{Math|1=''r'' = 1}} é unha raíz. Como {{Math|1=''r'' + 0 = 1}}, e <math>r^2 +0r-3=-2,</math>tense que
</math>
 
onde <math>\alpha</math>e <math>\beta</math> son as dúas [[Raíz dunha función|raíces]] do polinomio.
 
Se ''a'', ''b'', ''c'' son todos [[Número real|reais]], os factores son reais se e só se o discriminante <math>b^2-4ac</math>é non-negativo. De no ser deste xeito, o polinomio cadrático non factoriza con factores reais non constantes.
319

edicións