Diferenzas entre revisións de «Factorización»

m
m (Substitúe a sintaxe de matemática obsoleto segundo mw:Extension:Math/Roadmap)
Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, <math>x^{997}-1</math>pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: <math>x-1</math> e <math>x^{996}+x^{995}+\cdots+x^2+x+1</math>.
 
A solución de ecuación alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, de feito, o [[fundamental teorema defundamental da álxebra]] pode ser enunciado cun carácter de factorización: todo polinomio {{Math|''x''}} de grao {{Math|''n''}} cos coeficientes complexos factoriza en {{Math|''n''}} factores lineais <math>x-a_i,</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, onde os {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} son as raíces do [[polinomio]].<ref>{{harvnb|Klein|1925|pp=101–102}}</ref> Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces ''n-''ésimas), polo [[teorema de Abel–Ruffini]]. Na maioría destes casos, o único que se pode facer calcular unha [[aproximación]] da raíz con algún algoritmo para encontrar raíz.
 
=== Historia da factorización de expresións ===
Ás veces, algunha agrupacións de termos deixa aparecer unha parte dun patrón recoñecíbel. Entón é útil de engadir termos para completar o patrón, e restarllos para non mudaren o valor da expresión.
 
Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución de [[ecuación de segundo gradograo]].
 
Outro exemplo é a factorización de <math>x^4 + 1</math>, que un presenta a [[Unidade imaxinaria|raíz cadrada]] [[Número complexo|imaxinaria]] de –1, xeralmente denotado como ''i'', entón tense unha diferenza de termos<math>x^4 + 1.</math>
A fórmula cadrática é válida cando os coeficientes pertencen a calquera [[corpo]] de [[Característica (álxebra)|característica]] diferente de 2, e, en particular, para coeficientes nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] finito cun número impar de elementos.<ref>Nun anel de característica 2, tense que 2=0 que produce que na fórmula haxa unha división entre 0.</ref>
 
Tamén existen fórmulas para raíces polinomios de gradosgraos 3 e 4, mais son en xeral complicados de máis para uso práctico. O [[teorema de Abel–Ruffini]] demostra que non existen fórmulas xerais para as raíces en termos de radicais para polinomios de grao cinco ou maior.
 
=== Usando relacións entre raíces ===
Pode ocorrer que un sabe algunha relación entre as raíces dun polinomio e os seus coeficientes. Utilizando este coñecemento pode axudar a factorarfactorizar o polinomio e atopando as súas raíces. A teoría de Galois está baseada nun estudo sistemático das relacións entre raíces e coeficientes, que inclúe as fórmulas de Vieta.
 
Aquí, considerarase o caso máis sinxelo onde dúas raíces <math>x_1</math>e <math>x_2</math> dun polinomio <math>P(x)</math>satisfán a relación<math>x_2=Q(x_1),</math>onde Q é un polinomio.
 
Isto implica que <math>x_1</math>é unha raíz común de <math>P(Q(x))</math>e <math>P(x).</math>De aí que, polo tanto, tamén é unha raíz do [[máximo común divisor]] de ámbolos dous polinomios. Entón o máximo coúncomún divisor é un factor non constante de <math>P(x)</math>e o algoritmo de Euclides de polinomios permite calculalo
 
Por exemplo,<ref>{{harvnb|Burnside|Panton|1960|p=38}}</ref> se se adiviña que <math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math> ten dúas raíces que suman a cero, pódese aplicar entón o algoritmo de Euclides <math>P(x)</math>e <math>P(-x).</math> O primeiro paso consiste en sumar <math>P(x)</math> e <math>P(-x),</math>dando o resto de
319

edicións