Georg Cantor: Diferenzas entre revisións

continúo tradución
Contido eliminado Contido engadido
continúo tradución
continúo tradución
Liña 94:
 
A dificultade que Cantor tivera para probar a hipótese do continuo foi subliñada por desenvolvementos posteriores da matemática: un resultado de [[Kurt Gödel|Gödel]] en 1940 xunto con outro de [[Paul Cohen]] en 1963 implican que a hipótese do continuo non se pode probar nin rexeitar co emprego da [[teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel|teoría de conxuntos estándar de Zermelo-Fraenkel]] xunto co [[axioma de elección]] (combinación coñecida como "ZFC").<ref>Con estes resultados, algúns matemáticos dan o tema por concluído, e como moito permiten a posibilidade de examinar as consecuencias formais da HC ou da súa negación, ou de axiomas que impliquen unha delas. Outros continúan na procura de axiomas "naturais" ou "cribles" que ao seren engadidos á ZFC permitan, ou ben probar ou ben rexeitar HC, ou incluso procuran evidencias a prol ou en contra HC; entre estes destaca [[W. Hugh Woodin]]. Un dos últimos traballos de Gödel defende a falsidade da HC, e que a cardinalidade do continuo é <math>\aleph_2</math>.</ref>
 
====Paradoxos da teoría de conxuntos====
A consideración de [[paradoxo]]s na teoría de conxuntos comezou a ter lugar contra o fin do século XIX. Algúns deles implicaban problemas cos fundamentos da formulación teórica da teoría de conxuntos cantoriana.<ref>Dauben, 1979, pp. 240–270; especialmente pp. 241 e 259.</ref> Nun traballo de 1897 acerca dun tema non relacionado, [[Cesare Burali-Forti]] expuxo o primeiro destes paradoxos, o [[paradoxo de Burali-Forti]]: o [[número ordinal]] do conxunto de tódolos ordinais ten que ser un ordinal, e iso leva á contradición. Cantor descubriu este paradoxo en 1895, e describiulla a [[David Hilbert|Hilbert]] nunha carta de 1896. As críticas aumentaron até o punto de que en 1903 Cantor expuxo os seus contra-argumentos, coa intención de defender os principios básicos da súa teoría de conxuntos.<ref name="daub248">Dauben, 1979, p. 248.</ref>
 
En 1899, Cantor descubriu o seu [[paradoxo de Cantor|paradoxo]] epónimo: cal é o número cardinal do conxunto de tódolos conxuntos? Claramente ten que ser o maior cardinal posible. Mais para calquera conxunto ''A'', o número cardinal do seu conxunto de partes é estritamente maior que o número cardinal de ''A'' (segundo o resultado hoxe coñecido como [[teorema de Cantor]]). Este paradoxo, xunto co de Burali-Forti, levou a Cantor a formular un concepto chamado ''[[limitación de tamaño]]'',<ref>Hallett, 1986.</ref> de xeito que a colección formada por tódolos ordinais, ou tódolos conxuntos, era unha "multiplicidade contraditoria" que era "demasiado grande" para ser un conxunto. Máis tarde este tipo de coleccións déronse en chamar [[clase (matemáticas)|clases propias]].
 
Un punto de vista usual entre os matemáticos é que estes paradoxos, xunto co de [[paradoxo de Russell|Russell]], demostran a imposibilidade de achegarse á teoría de conxuntos dende un punto de vista "intuitivo", ou non axiomático, sen risco de atopar contradicións, sendo esta unha das motivacións de [[Ernst Zermelo|Zermelo]] e outros para construír [[teoría de conxuntos axiomática|axiomatizacións]] da teoría de conxuntos. De tódolos xeitos, outros apuntan que os paradoxos non se teñen dende un punto de vista non formal motivado na [[universo de von Neumann|xerarquía iterativa]], a cal pódese ver coma unha explicación da idea de limitación de tamaño. Algúns cuestionan tamén se a formulación de [[Gottlob Frege]] da [[teoría de conxuntos intuitiva]] (que foi o sistema directamente refutado co paradoxo de Russell) é realmente unha representación fiel da concepción cantoriana.<ref>Weir, 1998, p. 766: "…sería un erro enorme considerar como intuitiva a teoría de conxuntos de Cantor…"</ref>
 
==Véxase tamén==
Liña 106 ⟶ 113:
*Dauben, J.W., [http://www.acmsonline.org/Dauben-Cantor.pdf ''Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory''], Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), p. 1–22, 1993. A versión en liña publicouse no Journal of the ACMS no 2004. {{en}}
*Grattan-Guinness, I., ''Towards a Biography of Georg Cantor'', Annals of Science, 27, p. 345–391, 1971. {{en}}
*Hallett, M., ''Cantorian Set Theory and Limitation of Size'', Oxford University Press, 1986. ISBN 0-19-853283-0 {{en}}
*Johnson, P.E., ''The Genesis and Development of Set Theory'', The Two-Year College Mathematics Journal, 3 (1), pp. 55–62, 1972. {{en}}
*Purkert, W. e Ilgauds, H.J., ''Georg Cantor: 1845–1918'', Birkhäuser, 1985. ISBN 0-8176-1770-1 {{de}}
Liña 112 ⟶ 120:
*Suppes, P., ''Teoría axiomática de conjuntos'', Norma, c1968. Aínda que o punto de vista é axiomático máis que intuitivo, Suppes trata e demostra moitos dos resultados de Cantor, o que demostra a duradeira importancia de Cantor para o edificio dos fundamentos da matemática. {{es}}
*Wallace, D.F., ''Everything and More: A Compact History of Infinity'', W.W. Norton and Company, 2003. ISBN 0393003388 {{en}}
*Weir, A., ''Naive Set Theory is Innocent!'', Mind, '''107''' (428), pp. 763–798, 1998. {{en}}
 
==Notas==
800

edicións