Diferenzas entre revisións de «Factorización»

Arranxos
m (Arranxos varios)
(Arranxos)
En [[matemáticas]], a '''factorización''' consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios ''factores'', normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, {{Math|3 × 5}} é un factorización do [[Número enteiro|enteiro]] {{Math|15}}, e {{Math|(''x'' – 2)(''x'' + 2)}} é un factorización do [[polinomio]] {{Math|''x''<sup>2</sup> – 4}}.
 
A factorización non se adoita a considerar en tanto a estar a traballar dentro de sistemas de número que posúen división, como os números [[Número real|reais]] ou [[Número complexo|complexos]], xa que calquera <math>x</math> pode ser trivialmente escrito como <math>(xy)\times(1/y)</math> se <math>y</math> non é [[cero]] ou unha unidade. Con todo, pódense obter factorizacións que teñan un significado claro, por exemplo se escribimosse escribe un [[número racional]] ou unha [[función racional]] en termos máis pequenos e separando os factores do numerador e o denominador.
 
Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o [[teorema fundamental da aritmética]], que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser factorizados en enteiros maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito baseasebaséase o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha [[criptografía]] de chave pública.
 
A factorización de polinomios[[polinomio]]s tamén foi estudada ao longo dos séculos. En [[álxebra]] xeral, factorizar un polinomio é reducir o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. No caso dos polinomios con coeficientes enteiros ou pertencentes a un [[Corpo (álxebra)|corpo]], estes posúen a propiedade da factorización única, unha versión do teorema fundamental da aritmética na que os polinomios irredutíbelirredutíbeis substituíron os números primos. En particular, un [[polinomio]] dunha variable cos coeficientes [[Número complexo|complexos]] admite unha única (sen ter en conta a orde) factorización en [[Polinomio|polinomios lineares]]: isto é unha versión do [[teorema fundamental da álxebra]]. Neste caso, a factorización pode ser feita cos algoritmos de atopar raíces.
 
Un [[anel conmutativo]] posúe oa propiedade de factorización únicoúnica é chamada dominio de factorización única. Malia de existir aneis de enteiros alxébrico que non son dominios de factorización única, estes satisfán a propiedade máis débil dominios de Dedekind: factorización única de ideais en [[ideal primo|ideais primos]].
 
O termo ''factorización'' tamén fai referencia a descomposicións máis xerais dun obxecto matemático no produto de obxectos máis pequenos ou máis sinxelos. Por exemplo, cada función pode ser factorizadofactorizada como unha composición dunha función surxectivasobrexectiva cunha función inxectiva. As [[Matriz (matemáticas)|matrices]] posúen moitas clases de [[Descomposición de matrices|factorizacións.]]. Por exemplo, cada matriz ten unha única factorización LUP como produto dunha matriz triangular inferior ''L'', con tódalas entradas diagonais iguais a un, unha matriz triangular superior ''U'', e ununha matriz permutación ''P'', e esta é unha formulación de matriz de [[eliminación de Gauss]].
 
== Enteiros ==
Para calcular a factorización dun enteiro ''n'', precísase dun [[algoritmo]] para atopar un divisor ''q'' de ''n'' ou que ''n'' é primo, e polo tanto non existe ''q''. De atoparen o divisor ''q'', obteríanse dous factores de ''n'', {{Math|''n'' / ''q''}} e ''q'', nos que, ao aplicárenlles este algoritmo repetidamente, conséguese a factorización completa de n.<ref>{{Cita libro|apelido1=Hardy |apelido2= Wright|título= An Introduction to the Theory of Numbers|isbn=978-0198531715|edición=5ª|ano=1980|editor=Oxford Science Publications}}</ref>
 
Para atopar un divisor ''q'' de ''n'', se ten algún, abonda con probar todos os valores ''q'' tal que {{Math|1 < q}} e {{Math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}. Chega con probar só con estes porque se ''r'' é un diviso{{Math|''r''}}divisor de ''n'' tal que'' {{Math|''r''<sup>2</sup> > ''n''}} , entón {{Math|1=''q'' = ''n'' / ''r''}} é un divisor de ''n'' tal que {{Math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}, e xa tería sido atopado
 
Ao procurarenprocurárense divisores en orde crecente, o primeiro divisor que sexa atopado ten que ser necesariamente un número primo, e o ''cofactor'' r = n / q non pode ter ningún divisor menor que ''q''. Para conseguiren a factorización completo, abondará con continuar o algoritmo na procura dun divisor de ''r'' que nin é máis pequeno que ''q'', nin é máis grande que ''√r''.
 
Non é preciso probar tódolos valores de ''q'' para aplicarenaplicar o método, pois chega con probar con todos os primos divisores. Mais isto xa precisa dunha táboa de númeronúmeros primos como, por exemplo, a xerada mediante a [[criba de Eratóstenes]]. Como método de factorización fai esencialmente o mesmo traballo como a criba de Eratosthenes, en xeral é máis eficiente de probar como divisor só aqueles números que non é evidente se son primos ou non. Tipicamente, procedendo por probar con 2, 3, 5, e os números maiores a 5, co último díxito é 1, 3, 7, 9 e coa suma dos díxitos non múltiplo de 3.
 
Este método funciona ben para a factorización de números enteiros pequenos, mais é ineficiente para máis grande enteiros. Por exemplo, [[Pierre de Fermat]] non foi quen de descubrir que o sexto [[número de Fermat]]
: <math>1 + 2^{2^5} = 1 + 2^{32} = 4\,294\,967\,297</math>
 
non é un número primo. De feito, a aplicación do método anterior precisaría máis que 1000010&nbsp;000 divisións, ao ter o número 10 [[Cifra|díxitos decimais]].
 
Na actualidade coñécense algoritmos de factorización máis eficientes, mais fican relativamente ineficiente,ineficientes ao tentar factorizar un número de 500 díxitos, que é o produto de dous primos escollidos ao chou, incluso cos ordenadores máis potentes. Isto é o que asegura a seguranza do [[RSA|sistema criptográfico RSA]], que é amplamente utilizado para comunicación segura na [[internet]].
 
=== Exemplo ===
Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, <math>x^{997}-1</math>pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: <math>x-1</math> e <math>x^{996}+x^{995}+\cdots+x^2+x+1</math>.
 
A solución de ecuación alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, fede feito, o [[Teorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra]] pode ser enunciado cun caractercarácter de factorización: todo polinomio {{Math|''x''}} de grao {{Math|''n''}} cos coeficientes complexos factoriza en {{Math|''n''}} factores lineais <math>x-a_i,</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, onde os {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} son as raíces do [[polinomio]].<ref>{{harvnb|Klein|1925|pp=101–102}}</ref> Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces ''n-''ésimas), polo [[teorema de Abel–Ruffini]]. Na maioría destes casos, o único que se pode facer calcular unha [[aproximación]] da raíz con algún algoritmo para encontrar raíz.
 
=== Historia da factorización de expresións ===
: <math>6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),</math>
 
Xa que 2 é máximo común divisor de 6, 8, e 10, e <math>x^3y^2</math> divide tódolos termos.
==== Agrupación ====
As veces, ao agruparen os termos faise posíbel aplicar outros métodos para factorizar.
Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución de [[ecuación de segundo grado]].
 
Outro exemplo é a factorización de <math>x^4 + 1</math>, que un presenta a [[Unidade imaxinaria|raíz cadrada]] [[Número complexo|imaxinaria]] de –1, xeralmente denotadocdenotado como ''i'', entón tense unha diferenza de termos<math>x^4 + 1.</math>
 
: <math>x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).</math>
*; Diferenza/de suma de dous cubos
 
[[Ficheiro:Differenceofcubes.jpg|miniatura|Unha representación visual do factorización dos cubos que utilizan volumes. Para unha suma de cubos, sinxelamente substitutosubstitúese z=-y.]]
 
:: <math> E^3 + F^3 = (E + F)(E^2 - EF + F^2)</math>
*; Expansións binomiais
 
[[Ficheiro:Binomial_theorem_visualisation.svg|miniatura|300x300px|Visualisación De binomial expansión até oa 4.ºª poderpotencia]]
 
: O [[Binomio de Newton|teorema do binomial]] subministra patróns que facilmente poden ser recoñecido grazas aos enteiros que aparecen. Con gradosgraos pequenos:
::<math> a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2</math>
::<math> a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2</math>
::<math> a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 </math>
::<math> a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 </math>
: Máis xeralmente, o<nowiki/>sos coeficientes das formas expandidas de <math>(a+b)^n</math> e <math>(a-b)^n</math>son os coeficientes binomiais que aparecen na ''n''-ésima fileira do [[triángulo de Pascal]].
 
==== Raíces de unidade ====
:<math> a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 - \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 -\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>
 
A miúdo, quérese unha factorización con coeficientes racionais. Tal factorización implica polinomios ciclotómicos. Para expresar factorizacións racional de sumas e diferenzas ou potencias, precisamos da notación para a homoxeneización dun polinomio: se <math>P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,</math> a súa homoxeneización é o [[Polinomio|polinomio bivariatebivariante]]
 
<math>\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.</math>
:<math>E^n+F^n=\prod_{k\mid 2n,k \not\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>
 
onde os produtos son fanse sobre tódolos divisores de ''n'', ou tódolos divisores de {{Math|2''n''}} que non dividen ''n'', e <math>Q_n(x)</math> é o ''n''-ésimo polinomio ciclotómico.
 
Por exemplo, <blockquote><math>a^6-b^6= \overline Q_1(a,b)\overline Q_2(a,b)\overline Q_3(a,b)\overline Q_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),</math></blockquote><blockquote><math>a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^2),</math></blockquote>aa que o divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, e o divisores de 12 que non divide a 6 son 4 e 12.
\end{align}</math></blockquote>e entón <blockquote><math>P(r) = 0 \implies P(s) = P(\bar{r}) = \overline{P(r)} = 0</math></blockquote>Polo que o produto<blockquote><math>(x-r)(x-s) = x^2-(r+s)x+rs =x^2+2ax+a^2+b^2</math></blockquote>é un factor de ''P'' de só coeficientes reais. De continuaren a facer esta agrupación de factores non reais, chegase finalmente até conseguir unha factorización de factores reais que son polinomios de graos un ou dous.
 
Para calcularencalcular estas factorizacións reais ou complexas, tense que coñecer as raíces do polinomio, malia que, en xeral, non poderán ser calculadas exactamente, e ter que recorrer a valores aproximados dos valores das raíces.
 
A maioría de ecuacións alxébricas atopadas na práctica son de coeficientes [[Número enteiro|enteiros]] ou [[Número racional|racionais]], e quererase unha expresión en factores da mesma clase. Neste caso, O teorema fundamental da aritmética xeneraliza en que os polinomios con coeficientes enteiro ou racionais teñen a propiedade de factorización única . Máis precisamente, todo polinomio cos coeficientes racionais factoriza nun produto
: <math>P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),</math>
 
onde ''q'' é un número racional e <math>P_1, \ldots, P_k</math> son polinomios non constantes con coeficientes enteiro que son irredutíbeis e primitivos, isto é, que ningún <math>P_i</math>pode escribirse como produto de dous polinomios (de coeficientes enteiros) que non son nin 1 nin –1 (os enteiros son considerados como polinomios de grao cero). Ademais, esta factorización é única ao non ter en conta a orde dos factores e a multiplicación por –1 dun número par de factores.
 
Malia da existencia de [[algoritmo]]s eficientes para calcular esta factorización, desafortunadamente, para o cálculo a man son complicados de máis para ser usados. Ademais das heurísticas xerais xa descritas anteriormente, só hai uns cantos métodos dispoñíbeis neste caso, os cales xeralmente traballan só para polinomios de grao baixo e con poucos coeficientes non nulos. O principais métodos son descritos nas próximas subseccións.
=== Ligazóns externas ==
* [[Wolfram Alpha]] [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%20-2006+%2B+1155+x+-+78+x^2+%2B+x^3] é capaz de realizar factorizacións.
 
{{Control de autoridades}}
 
[[Categoría:Aritmética]]
30.153

edicións