Diferenzas entre revisións de «Factorización»

m
Arranxos varios
m
m (Arranxos varios)
En [[matemáticas]], a '''factorización''' consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios ''factores'', normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, {{Math|3 × 5}} é un factorización do [[Número enteiro|enteiro]] {{Math|15}}, e {{Math|(''x'' – 2)(''x'' + 2)}} é un factorización do [[polinomio]] {{Math|''x''<sup>2</sup> – 4}}.
 
A factorización non se adoita a considerar en tanto a estar traballar dentro de sistemas de número que posúen división, como os números [[Número real|reais]] ou [[Número complexo|complexos]], xa que calquera <math>x</math>pode ser trivialmente escrito como <math>(xy)\times(1/y)</math>se <math>y</math>non é cero ou unha unidade. Con todo, pódense obter factorizacións que teñan un significado claro, por exemplo se escribimos un [[número racional]] ou unha [[función racional]] en termos máis pequenos e separando os factores do numerador e o denominador.
 
Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o teorema fundamental da aritmética, que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser factorizados en enteiros maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito basease o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha criptografía de chave pública.
 
A factorización de polinomios tamén foi estudada ao longo dos séculos. En álxebra xeral, factorizar un polinomio é reducir o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. No caso dos polinomios con coeficientes enteiros ou pertencentes a un [[Corpo (álxebra)|corpo]], estes posúen a propiedade da factorización única, unha versión do teorema fundamental da aritmética na que os polinomios irredutíbel substituíron os números primos. En particular, un [[polinomio]] dunha variable cos coeficientes [[Número complexo|complexos]] admite unha única (sen ter en conta a orde) factorización en [[Polinomio|polinomios lineares]]: isto é unha versión do [[Teorema fundamental da álxebra|teorema fundamental da álxebra.]]. Neste caso, a factorización pode ser feita cos algoritmos de atopar raíces.
 
Un [[anel conmutativo]] posúe o propiedade de factorización único é chamada dominio de factorización única. Malia de existir aneis de enteiros alxébrico que non son dominios de factorización única, estes satisfán a propiedade máis débil dominios de Dedekind: factorización única de ideais en ideais primos.
: <math>x^3-ax^2-bx^2-cx^2+ abx+acx+bcx-abc</math>
 
que ten 16 multiplicacións, 4 subtraccións e 3 adicións, pode ser factorizada á expresión
 
: <math>(x-a)(x-b)(x-c),</math>
Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, <math>x^{997}-1</math>pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: <math>x-1</math> e <math>x^{996}+x^{995}+\cdots+x^2+x+1</math>.
 
A solución de ecuación alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, fe feito, o [[Teorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra]] pode ser enunciado cun caracter de factorización: todo polinomio {{Math|''x''}} de grao {{Math|''n''}} cos coeficientes complexos factoriza en {{Math|''n''}} factores lineais <math>x-a_i,</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, onde os {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} son as raíces do [[polinomio]]. <ref>{{harvnb|Klein|1925|pp=101–102}}</ref> Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces ''n-''ésimas), polo [[teorema de Abel–Ruffini]]. Na maioría destes casos, o único que se pode facer calcular unha [[aproximación]] da raíz con algún algoritmo para encontrar raíz.
 
=== Historia da factorización de expresións ===
O uso sistemático de manipulacións alxébricas para simplificar expresións (máis especificamente [[Ecuación|ecuaciónsecuación]]s) rexístrase até século IX, co libro ''[[Libro Compendio sobre Cálculo por Restauración e Balanceamento]]'' de [[Al-Khwarizmi]], titulado con dous tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar [[ecuacións cadráticas]], a factorización non se utilizou até a publicación en 1631 do traballo de [[Thomas Harriot]], dez anos após a súa morte. <ref>In {{cita libro|nome=Vera|apelido=Sanford|título=A Short History of Mathematics|ano=2008|origyear=1930|editor=Read Books|isbn=9781409727101}}.</ref>
 
No seu libro ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'', Harriot debuxou, nunha primeira sección, táboas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nunha segunda sección, montou a ecuación {{Math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca'' = + ''bc''}} , e mostrou que isto emparella a forma da multiplicación, xa proporcionada, sendo a factorización {{Math|(''a'' − ''b'')(''a'' + ''c'')}} .
==== Agrupación ====
As veces, ao agruparen os termos faise posíbel aplicar outros métodos para factorizar.
Por exemplo, para factorizar
 
: <math>4x^2+20x+3xy+15y, </math>
 
==== Sumando e restando termos ====
Ás veces, algunha agrupacións de termos deixa aparecer unha parte dun patrón recoñecíbel. Entón é útil de engadir termos para completar o patrón, e restarllos para non mudaren o valor da expresión.
 
Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución de [[ecuación de segundo grado]].
 
=== Patróns recoñecíbeis ===
Moitas [[Identidade (matemáticas)|identidades]] proporcionan igualdades entre unha suma e un produto. Os métodos anteriormente descritos poden ser utilizados para deixar illar na expresión a parte da suma, para despois substituíla por un produto.
 
Nas seguintes identidades, o lado dereito será usado como patrón. Deste xeito, as variábeis ''E'' e ''F'' que aparecen na identidades poden representar calquera subexpresión da expresión da expresión a factorizar.<ref>{{harvnb|Selby|1970|p=101}}</ref>
: <math>e^{2ik\pi/n}=\cos \frac{2\pi}n +i\sin \frac{2\pi}n</math>
 
para <math>k=0, \ldots, n-1.</math>
 
Dedúcese para dúas expresións calquera ''E'' e ''F'', tense:
: <math>P(x)=0,</math>
 
onde
 
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,</math>
 
onde {{Math|''P''(''x'')}} é un polinomio en ''x'', tal que <math>a_0\ne 0.</math>. A solución desta ecuación, ou [[Raíz (homónimos)|raíz]] do polinomio, é un valor ''r'' de ''x'' tal que
 
: <math>P(r)=0.</math>
 
Se
 
: <math>P(x)=Q(x)R(x)</math>
onde ''q'' é un número racional e <math>P_1, \ldots, P_k</math>son polinomios non constantes con coeficientes enteiro que son irredutíbeis e primitivos, isto é, que ningún <math>P_i</math>pode escribirse como produto de dous polinomios (de coeficientes enteiros) que non son nin 1 nin –1 (os enteiros son considerados como polinomios de grao cero). Ademais, esta factorización é única ao non ter en conta a orde dos factores e a multiplicación por –1 dun número par de factores.
 
Malia da existencia de [[Algoritmo|algoritmosalgoritmo]]s eficientes para calcular esta factorización, desafortunadamente, para o cálculo a man son complicados de máis para ser usados. Ademais das heurísticas xerais xa descritas anteriormente, só hai uns cantos métodos dispoñíbeis neste caso, os cales xeralmente traballan só para polinomios de grao baixo e con poucos coeficientes non nulos. O principais métodos son descritos nas próximas subseccións.
 
=== Factorización primitiva baseada no contido ===
: <math>\frac{1}{3}x^5 + \frac{7}{2} x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{6} ( 2x^5 + 21x^2 + 12x + 6)</math>
 
Nesta factorización, ao número racional nomease o ''contido'' e ao polinomio primitivo, como a ''parte primitiva''. O cálculo da factorización pode ser feita cos seguintes pasos:
 
* En primeiro lugar, redúcense tódolos coeficientes a un denominador común, para conseguiren o cociente dun polinomio con coeficientes enteiro por un enteiro ''q''.
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_0</math>
 
(o número que cumpre que ''P(r) = 0''), entón hai un factorización
 
: <math>P(x)=(x-r)Q(x),</math>
 
onde
 
: <math>Q(x)=b_0x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1},</math>
 
con <math>a_0=b_0,</math> e <math>b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n'' – 1}}
 
Isto pode ser útil cando, tanto dunha inspección ou dunha información externa, cóñecese unha raíz do polinomio. Para calcular ''Q(x)'', no lugar de utilizar fórmula anterior, tamén é posíbel usar a [[regra de Ruffini]].
 
Por exemplo, para o polinomio <math>x^3 - 3x + 2,</math>un facilmente podería ver que a suma dos seus coeficientes é 0. Por isto, {{Math|1=''r'' = 1}} é unha raíz. Como {{Math|1=''r'' + 0 = 1}}, e <math>r^2 +0r-3=-2,</math>tense que
 
: <math>x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2).</math>
=== Raíces racionais ===
{{Ver tamén|Teorema das raíces racionais}}
A procura das raíces [[Número racional|racionais]] dun polinomio terá sentido só de traballaren con polinomios con coeficientes racionais. A factorización primitiva baseada no contido (xa vista) reduce o problema de buscar raíces racionais ao caso de polinomios con coeficientes enteiro tal que o máximo común divisor dos coeficientes é 1,
 
Se <math>\frac pq</math> é unha raíz racional do polinomio
 
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,</math>
: <math>P(x)=(qx-p)Q(x),</math>
 
onde ámbolos dous factores teñen coeficientes enteiro (que Q teña coeficientes enteiros vén da fórmula do cociente de {{Math|''P''(''x'')}} por <math>x-p/q</math>).
 
Ao compararen coeficientes de grao ''n'' e os coeficientes constantes na igualdade de enriba, é claro que, se <math>\frac pq</math>é unha raíz racional en [[Fracción irredutible|forma reducida]], entón ''q'' é divisor de <math>a_0,</math> ''p'' é un divisor de <math>a_n.</math>Por tanto, hai un número finito de posibilidades para ''p'' e ''q'' e poden ser exploradas de forma sistemática.<ref>{{harvnb|Dickson|1922|p=27}}</ref>
 
Por exemplo, se o polinomio
 
: <math>2x^3 - 7x^2 + 10x - 6</math>
 
ten unha raíz racional <math>p/q,</math>entón ''p'' ten que dividir a 6 e ''q'' a 2, por tanto <math>p\in\{\pm 1,\pm 2,\pm3, \pm 6\}, </math>e <math>q\in\{1, 2\}. </math> Ademais, se {{Math|''x'' < 0}}, tódolos termos do polinomio son negativos, implicando que non ten raíces reais negativas. De acordo a todo isto,
 
: <math>\frac pq \in \{1, 2, 3, 6, \frac 12, \frac 32\}.</math>
 
==== Método AC ====
Ao restrinxir só a polinomios cadráticos, este método pode ser adaptado na chamado ''método ac'' de factorización.<ref>Stover, Christopher [http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html AC Method - Mathworld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141112231252/http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html |date=2014-11-12 }}</ref>
 
Sexa o polinomio cadrático <math>ax^2 + bx + c</math>de coeficientes enteiro. Se ten unha raíz racional, o seu denominador ten que dividir {{Math|''a''}} . Por tanto, de escribiren a raíz como [[Fracción irredutible|fracción reducíbel]] <math>\frac ra</math>, polas [[fórmulas de Vieta]], a outra raíz é
 
: <math>-\frac ba-\frac ra =-\frac{b+r}a = \frac sa,</math>
 
Con <math>s=-(b+r).</math>Por isto a segunda raíz é tamén racional, e segundo a fórmula de Vieta tense que
 
: <math>\frac sa\frac ra =\frac ca,</math>
 
isto é
 
:<math>rs=ac\quad \text{e}\quad r+s=-b.</math>
</math>
 
A exploración dos factores de {{Math|1=''ac'' = 36}} leva a {{Math|1=4 + 9 = 13 = ''b''}}, obtendo as dúas raíces
 
:<math>-\frac 46 =-\frac 23 \quad \text{e} \quad -\frac96 = -\frac 32,</math>
 
e a factorización
 
: <math>
</math>
 
onde <math>\alpha</math>e <math>\beta</math> son as dúas raíces do polinomio.
 
Se ''a'', ''b'', ''c'' son todos [[Número real|reais]], os factores son reais se e só se o discriminante <math>b^2-4ac</math>é non-negativo. De no ser deste xeito, o polinomio cadrático non factoriza con factores reais non constantes.
 
A fórmula cadrática é válida cando os coeficientes pertencen a calquera [[corpo]] de [[Característica (álxebra)|característica]] diferente de 2, e, en particular, para coeficientes nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] finito cun número impar de elementos.<ref>Nun anel de característica 2, tense que 2=0 que produce que na fórmula haxa unha división entre 0.</ref>
 
=== Usando relacións entre raíces ===
Pode ocorrer que un sabe algunha relación entre as raíces dun polinomio e os seus coeficientes. Utilizando este coñecemento pode axudar a factorar o polinomio e atopando as súas raíces. A teoría de Galois está baseada nun estudo sistemático das relacións entre raíces e coeficientes, que inclúe as fórmulas de Vieta.
 
Aquí, considerarase o caso máis sinxelo onde dúas raíces <math>x_1</math>e <math>x_2</math> dun polinomio <math>P(x)</math>satisfán a relación<math>x_2=Q(x_1),</math>onde Q é un polinomio.
 
Isto implica que <math>x_1</math>é unha raíz común de <math>P(Q(x))</math>e <math>P(x).</math>De aí que, polo tanto, tamén é unha raíz do [[máximo común divisor]] de ámbolos dous polinomios. Entón o máximo coún divisor é un factor non constante de <math>P(x)</math>e o algoritmo de Euclides de polinomios permite calculalo
 
Por exemplo, <ref>{{harvnb|Burnside|Panton|1960|p=38}}</ref> se se adiviña que <math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math> ten dúas raíces que suman a cero, pódese aplicar entón o algoritmo de Euclides <math>P(x)</math>e <math>P(-x).</math> O primeiro paso consiste en sumar <math>P(x)</math> e <math>P(-x),</math>dando o resto de
 
: <math>-10(x^2-16).</math>
 
== Ideais ==
En [[Teoría de números alxébricos|teoría de números alxébricos]], o estudo de [[Ecuación diofantiana|ecuacións diofantianas]] guiou os matemáticos, durante o século XIX, até chegaren a introducir as xeneralizacións dos [[Número enteiro|enteiros]] chamados [[Número enteiro alxébrico|enteiros alxébricos]]. Os primeiros [[Anel de enteiros alxébricos|aneis de enteiros alxébricos]] estudados teñen sido o anel que considera os enteiros gaussianos e o que considera os enteiros de Eisenstein. Estas dúas clases de enteiros alxébricos comparten cos enteiros tradicionais a propiedade de ser [[Dominio de ideais principais|dominios de ideais principais]], e ter así a [[Dominio de factorización única|propiedade de factorización única]].
 
Desafortunadamente, axiña se demostrou que a maioría de aneis de enteiros alxébricos non son principais e non teñen factorización única. Deles, o exemplo máis sinxelo é <math>\Bbb Z[\sqrt{-5}],</math> en que
389.261

edicións