Georg Cantor: Diferenzas entre revisións

Contido eliminado Contido engadido
continúo tradución
continúo tradución
Liña 22:
==Vida==
===Xuventude e formación===
Cantor naceu en 1845 na colonia de comerciantes occidentais de [[San Petersburgo]], [[Rusia]], e criouse nesta cidade ata os once anos. Georg, o maior de seis irmáns, destacaba como [[violín|violinista]], herdando os considerábeisconsiderables talentos artísticos e musicais dos seus pais. O seu pai foi socio da [[Bolsa de San Petersburgo]]; en 1856 enfermou, e a familia mudouse a [[Alemaña]], primeiro a [[Wiesbaden]] e despois a [[Frankfurt]], na procura de invernos máis suaves cós de San Petersburgo. En 1860, Cantor obtivo o certificado de estudos (con matrícula de honra) na [[Realschule]] de [[Darmstadt]]; eran notorias as súas extraordinarias habilidades coas matemáticas, en particular coa [[trigonometría]]. En 1862, Cantor matriculouse na [[Escola Politécnica Federal de Zúric]] (hoxe ETH Zürich). En 1863 recibe unha herdanza considerable trala morte do seu pai, e continúa os seus estudos na [[Universidade de Berlín]], recibindo clases de Kronecker, [[Karl Weierstrass]] e [[Ernst Kummer]]. Pasou o verán de 1866 na [[Universidade de Gotinga]], xa daquela un moi importante centro de investigación matemática. En 1867, [[Doutoramento|doutorouse]] en Berlín cunha [[tese doutoral|tese]] en [[teoría de números]] titulada ''De aequationibus secundi gradus indeterminatis''.
 
===Profesor e investigador===
Liña 59:
As investigacións de Cantor entre 1874 e 1884 son a orixe da [[teoría de conxuntos]].<ref name="Johnson p.55">Johnson, 1972, p. 55.</ref> Anteriormente, o concepto de conxunto era bastante elemental e usárase implicitamente dende os comezos da matemática, remontándose ás ideas de [[Aristóteles]].<ref name ="uncontrov">Este parágrafo é un resumo moi abreviado do impacto da obra de Cantor. Máis adiante atoparanse detalles e referencias.</ref> Ninguén se decatara de que a teoría de conxuntos non tiña ningún contido trivial: antes de Cantor, había só conxuntos finitos (que son fáciles de comprender) e "o infinito" (que se consideraba un tema de discusión filosófica máis que matemática). Demostrando a existencia de (infinitos) máis tamaños de conxuntos infinitos, Cantor estableceu que a teoría de conxuntos non era trivial, e que requiría ser estudada. A [[Teoría axiomática de conxuntos|teoría de conxuntos]] xoga hoxe o papel dunha [[fundamentos da matemática|teoría de fundamentos]] para a matemática moderna, no sentido de que interpreta proposicións acerca de obxectos matemáticos (por exemplo, números e funcións) de tódalas áreas tradicionais da matemática (tales coma a [[álxebra]], a [[análise matemática|análise]] e a [[topoloxía]]) dentro dunha única teoría, e proporciona un conxunto de axiomas estándar para demostralas ou refutalas. Os conceptos básicos da teoría de conxuntos son hoxe usados ao longo de toda a matemática.
 
Nun dos seus primeiros traballos, Cantor probou que o conxunto dos [[números reais]] é "máis numeroso" que o dos [[números naturais]]; por vez primeira amosábase que existen infinitos conxuntos de diferentes [[cardinalidade|tamaños]]. Tamén foi o primeiro en apreciar a importancia das [[bixección|correspondencias biunívocas]] na teoría de conxuntos. Empregou este concepto para definir [[conxunto finito|conxuntos finitos]] e [[conxunto infinito|infinitos]], subdividindo estes últimos en [[conxunto numerábelnumerable|conxuntos numerábeisnumerables]] e [[conxunto non numerábelnumerable|conxuntos non numerábeisnumerables]].
 
Cantor introduciu construcións fundamentais da teoría de conxuntos, coma a do [[conxunto de partes]] dun conxunto ''A'', que é o conxunto que ten por elementos a tódolos posibles [[subconxunto]]s de ''A''. Máis tarde demostrou que o tamaño do conxunto de partes dun conxunto ''A'' é estritamente maior ca o tamaño de ''A'', aínda cando ''A'' sexa un conxunto infinito; este resultado non tardou en coñecerse coma [[teorema de Cantor]]. Cantor desenvolveu unha completa teoría e [[aritmética ordinal|aritmética dos conxuntos infinitos]], estendendo a aritmética dos números naturais. A súa notación para os [[número cardinal|números cardinais]] foi a letra hebrea <math>\aleph</math> ([[aleph (matemáticas)|aleph]]) cun número natural coma subíndice; para os [[número ordinal|ordinais]] empregou a letra grega ω ([[omega]]). Esta notación aínda está en uso.
Liña 69:
 
===Teoría de conxuntos===
[[Image:Diagonal argument 2.svg|right|thumb|250px|Ilustración do [[argumento da diagonal de Cantor]] sobre a existencia de [[conxunto non numerábelnumerable|conxuntos non numerábeisnumerables]].<ref>A ilustración segue a notación do traballo de Cantor de 1891 [http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/diagarg.htm].</ref> Para calquera lista infinita e ordenada de sucesións <math>\textrm{E}_i</math> de dous caracteres m e w sempre poderemos construír unha sucesión que non está na lista. No exemplo a sucesión <math>\textrm{E}_u</math> difire de tódalas anteriores no díxito da diagonal.]]
A miúdo establécese o comezo da teoría de conxuntos como rama da matemática a partir da publicación en 1874 do traballo de Cantor, ''Sobre unha propiedade inherente a tódolos números alxébricos reais'' (''Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen'').<ref name="Johnson p.55"/> Este artigo, publicado no "[[Journal de Crelle]]" grazas ao apoio de Dedekind (e pese á oposición de Kronecker), foi o primeiro no que se formulou unha proba rigorosa de que hai máis dunha clase de infinito. Esta demostración é a peza central do seu legado matemático, axudando a levantar a base do cálculo infinitesimal e a análise do continuo dos números reais.<ref>Moore, 1995, pp. 112 e 114; Dauben, 2004, p. 1.</ref> Con anterioridade asumíase implicitamente que tódalas coleccións infinitas tiñan o mesmo número de elementos.<ref>Por exemplo, problemas xeométricos expostos por [[Galileo]] e [[John Duns Scotus]] suxerían que tódolos conxuntos infinitos tiñan o mesmo número de elementos — véxase Moore, 1995, p. 114.</ref> Despois probou que [[Non numerabilidade do conxunto dos números reais|o conxunto dos números reais era non numerábelnumerable]], aínda que cunha demostración máis complexa que o famoso argumento da diagonal que publicou en 1891.<ref>Para a importancia do traballo de Cantor na teoría de conxuntos, véxase Suppes, 1972.</ref> Con anterioridade xa probara que o conxunto dos [[números racionais]] é numerábelnumerable.
 
[[Joseph Liouville]] estableceu a existencia dos [[número transcendente|números transcendentes]] en 1851, e o traballo de Cantor demostraba que o conxunto dos números transcendentes era non numerábelnumerable: probou que a unión de dous conxuntos numerábeisnumerables era numerábelnumerable, e a [[recta real]] é igual á unión do conxunto dos [[número alxébrico|números alxébricos]] co conxunto dos números transcendentes (é dicir, cada número real ou ben é alxébrico ou ben é transcendente). O seu traballo de 1874 amosaba que o conxunto dos números alxébricos (isto é, as [[raíz (matemáticas)|raíces]] de ecuacións [[polinomio|polinómicas]] con [[coeficiente]]s [[enteiro]]s) era numerábelnumerable, polo tanto ao ser o conxunto dos números reais non numerábelnumerable, tamén o sería o dos números transcendentes. En consecuencia "case tódolos" números reais son transcendentes. Cantor comentaba que de feito reprobara un teorema, debido a [[Joseph Liouville|Liouville]], referente á existencia de infinitos números transcendentes en cada intervalo.
 
Entre 1879 e 1884, Cantor publicou unha serie de seis artigos en ''[[Mathematische Annalen]]'' que xuntos forman unha introdución á súa teoría de conxuntos. Ao mesmo tempo, medraba a oposición ás ideas de Cantor, liderada por Kronecker, quen só admitía conceptos matemáticos que se puideran construír nun [[finitismo|número finito de pasos]] a partir dos números naturais, que el tomaba coma intuitivamente dados. Para Kronecker, a xerarquía de infinitos de Cantor era inadmisible, xa que a aceptación da idea do [[infinito actual]] abriría as portas a paradoxos que cuestionarían a validez da matemática coma un todo.<ref name="popeleo">Dauben, 1977, p. 89.</ref> Durante este período Cantor tamén construíu o seu [[conxunto de Cantor]].
Liña 78:
O quinto artigo desta serie, ''Fundamentos dunha teoría xeral de agregados'' (''Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre''), publicado en 1883, foi o máis importante deles, sendo publicado tamén coma unha [[monografía]] por separado. Contiña a contestación de Cantor ás críticas. Amosaba os [[número transfinito|números transfinitos]] coma unha extensión sistemática dos números naturais. Comeza definindo a noción de [[conxunto ben ordenado]], e introduce os [[número ordinal|números ordinais]] coma os tipos de orde de conxuntos ben ordenados. Cantor define entón a suma e multiplicación de [[número cardinal|números cardinais]] e ordinais. En 1885, Cantor estende a súa teoría de tipos de orde de xeito que os números ordinais pasan a ser simplemente un caso particular de tipos de orde.
 
En 1891, publicou un artigo que contiña o seu elegante "argumento da diagonal" para a existencia dun conxunto non numerábelnumerable. Aplicou a mesma idea á demostración do [[teorema de Cantor]]: a [[cardinalidade]] do conxunto de partes dun conxunto ''A'' é estritamente maior que a cardinalidade de ''A''. Isto establecía a riqueza da xerarquía de conxuntos infinitos, e da [[aritmética cardinal]] e [[aritmética ordinal|ordinal]] que Cantor definira. O seu argumento é fundamental para solucionar o [[problema da parada]] e na demostración do [[primeiro teorema de incompletitude de Gödel]].
 
En 1895 e 1897, Cantor publicou as dúas partes dun traballo en ''[[Mathematische Annalen]]'' sendo daquela editor [[Felix Klein]]; estes foron os seus últimos artigos de importancia na teoría de conxuntos.<ref>Pódese consultar unha tradución ao inglés en [http://www.archive.org/details/contributionstot003626mbp].</ref> O primeiro artigo comeza coas definicións de conxunto, [[subconxunto]], etc., dun xeito que sería bastante admisible hoxe en día. Revísanse a aritmética cardinal e a ordinal. Cantor quería que o segundo artigo contivera unha proba da hipótese co continuo, mais tivo que arranxalo para expor a súa teoría de [[conxunto ben ordenado|conxuntos ben ordenados]] e números ordinais. Cantor intenta demostrar que se ''A'' e ''B'' son conxuntos con ''A'' equivalente a un subconxunto de ''B'' e ''B'' equivalente a un subconxunto de ''A'', entón ''A'' e ''B'' son equivalentes. [[Ernst Schroeder]] expuxo este teorema pouco despois, máis a súa proba, así como a de Cantor, era defectuosa. [[Felix Bernstein]] sacou unha demostración correcta en 1898 na súa tese doutoral; de aí que o resultado se coñeza coma [[teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein]].
 
====Bixeccións====
[[Image:Bijection.svg|thumb|Unha función bixectiva.]]
O traballo publicado por Cantor en 1874 no Journal de Crelle foi o primeiro en falar da noción de [[bixección|correspondencia biunívoca]], aínda que sen empregar ese termo. Comeza coa procura dunha bixección entre os puntos dun [[cadrado]] de lado un e os puntos dun [[segmento de recta]] de lonxitude un. Nunha carta a Dedekind de 1877, Cantor demostrou un resultado bastante máis forte: para calquera número positivo ''n'', existe unha correspondencia biunívoca entre os puntos do segmento unitario e os puntos dun [[espazo n-dimensional|espazo ''n''-dimensional]]. É famosa a frase que Cantor lle escribiu a Dedekind acerca deste descubrimento: "''Je le vois, mais je ne le crois pas''!" ("Eu véxoo, mais non mo creo!")<ref>Wallace, 2003, p. 259.</ref> Este resultado que lle parecera incrible ten consecuencias cara á xeometría e á noción de [[dimensión]].
 
En 1878, Cantor presentou outro artigo ao Journal de Crelle, no que precisamente definía o concepto de bixección, e introducía a noción de "[[cardinalidade|potencia]]" (termo que tomou de [[Jakob Steiner]]) ou "equivalencia" de conxuntos: dous conxuntos son [[relación de equivalencia|equivalentes]] (teñen a mesma potencia) se existe unha correspondencia biunívoca entre eles. Cantor definiu os [[conxunto numerable|conxuntos numerables]] como aqueles conxuntos que se poden poñer en bixección co conxunto dos [[números naturais]], e probou que o conxunto dos números racionais é numerable. Tamén demostrou que o [[espazo euclídeo]] ''n''-dimensional '''R'''<sup>''n''</sup> ten a mesma potencia que o conxunto dos [[números reais]] '''R''', do mesmo xeito que tamén a ten un [[produto cartesiano|produto]] numerable de copias de '''R'''. Aínda que fixo un uso libre da noción de numerabilidade coma concepto, non escribiu a palabra "numerable" até 1883. Cantor tamén trataba sobre as súas ideas acerca da [[dimensión]], facendo fincapé en que a súa [[bixección]] entre o intervalo unitario e o cadrado unitario non era unha [[función continua]].
 
Este artigo, igual que o de 1874, enfadou a Kronecker, e Cantor quixo retiralo; aínda así, Dedekind convenceuno para que non o fixera e [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] apoiou tamén a súa publicación.<ref>Dauben, 1979, p. 69; 324 ''63n.'' O traballo foi presentado en xullo de 1877. Dedekind admitiuno, mais retardouse a súa publicación por mor da oposición de Kronecker. Weierstrass apoiouno activamente.</ref> De tódolos xeitos, Cantor nunca volvería a presentar nada no Crelle.
 
====Hipótese do continuo====
Cantor foi o primeiro en formular o que posteriormente deuse en chamar [[hipótese do continuo]] (ou abreviando HC): non existe ningún conxunto cuxa potencia sexa maior que a dos naturais e menor que a dos reais (ou equivalentemente, a cardinalidade dos números reais é ''exactamente'' <math>\aleph_1</math>, en vez de ''ao menos'' <math>\aleph_1</math>). Cantor cría certa a hipótese do continuo, e tentou en van durante moitos anos atoparlle unha proba. A súa incapacidade para demostrala causoulle unha ansiedade considerable.<ref name="daub280" />
 
A dificultade que Cantor tivera para probar a hipótese do continuo foi subliñada por desenvolvementos posteriores da matemática: un resultado de [[Kurt Gödel|Gödel]] en 1940 xunto con outro de [[Paul Cohen]] en 1963 implican que a hipótese do continuo non se pode probar nin rexeitar co emprego da [[teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel|teoría de conxuntos estándar de Zermelo-Fraenkel]] xunto co [[axioma de elección]] (combinación coñecida como "ZFC").<ref>Con estes resultados, algúns matemáticos dan o tema por concluído, e como moito permiten a posibilidade de examinar as consecuencias formais da HC ou da súa negación, ou de axiomas que impliquen unha delas. Outros continúan na procura de axiomas "naturais" ou "cribles" que ao seren engadidos á ZFC permitan, ou ben probar ou ben rexeitar HC, ou incluso procuran evidencias a prol ou en contra HC; entre estes destaca [[W. Hugh Woodin]]. Un dos últimos traballos de Gödel defende a falsidade da HC, e que a cardinalidade do continuo é <math>\aleph_2</math>.</ref>
 
==Véxase tamén==
Liña 98 ⟶ 111:
*Rodych, V., [http://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-mathematics/ ''Wittgenstein's Philosophy of Mathematics''], en The Stanford Encyclopedia of Philosophy (editor: Edward N. Zalta), 2007. {{en}}
*Suppes, P., ''Teoría axiomática de conjuntos'', Norma, c1968. Aínda que o punto de vista é axiomático máis que intuitivo, Suppes trata e demostra moitos dos resultados de Cantor, o que demostra a duradeira importancia de Cantor para o edificio dos fundamentos da matemática. {{es}}
*Wallace, D.F., ''Everything and More: A Compact History of Infinity'', W.W. Norton and Company, 2003. ISBN 0393003388 {{en}}
 
==Notas==