Identidade de Bézout: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
mSen resumo de edición |
m Traducido do artigo da Wikipedia en inglés |
||
Liña 1:
En [[teoría de números]], a '''identidade de Bézout''' (tamén coñecido como '''lema de Bézout'''{{Sfn|Everest|Ward|||2008|p=}}) é un teorema que se enuncia como: "Sexan ''a'' e ''b'' [[enteiro]]s con [[máximo común divisor]] ''d''. Entón, existen ''x'' e ''y'' enteiros tales que ''ax + by = d''. En xeral, os enteiros da forma ''ax+by'' son exactamente os múltiplos de ''d''".{{Sfn|Jones|Jones|1998|||p=7}} ▼
▲En [[teoría de números]], a '''identidade de Bézout''' (tamén coñecido como '''lema de Bézout''') é un teorema que se enuncia como: "Sexan ''a'' e ''b'' [[enteiro]]s con [[máximo común divisor]] ''d''. Entón, existen ''x'' e ''y'' enteiros tales que ''ax + by = d''. En xeral, os enteiros da forma ''ax+by'' son exactamente os múltiplos de ''d''".
O enteiros ''x'' e ''y'' son coñecidos como os '''coeficientes de Bézout''' para (''a'', ''b''). Esta parella de enteiros non é única e pode calcularse usando o algoritmo de Euclides estendido. De ser ámbolos dous non nulos, o algoritmo de Euclides estendido produce unhas das dúas parellas tales que <math>|x|\leq \left|\frac{b}{c}\right| </math> e <math>|y|\leq \left|\frac{a}{c}\right| </math>(a igualdade só pode ocorrer se ''a'' é múltiplo de ''b'' ou, ao revés, se ''b'' é múltiplo de ''a'').
Liña 81 ⟶ 79:
: <math>\gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d </math>
: <math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n </math>
Liña 107 ⟶ 105:
== Historia ==
O [[matemático]] [[Pobo francés|francés]] [[Étienne Bézout]] (1730–1783) probou esta identidade para polinomios.<ref>{{cite book |author=Bézout, É.|authorlink=Étienne Bézout|url=https://books.google.com/books?id=FoxbAAAAQAAJ&hl=en&pg=PP5 |title=Théorie générale des équations algébriques |place=Paris, France |publisher=Ph.-D. Pierres |year=1779}}</ref> Con todo, esta afirmación para enteiros xa se atopa no traballo doutro matemático francés, [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]] (1581–1638). <ref>
{{cite book | last=Tignol | first=Jean-Pierre | title=Galois' Theory of Algebraic Equations | publisher=World Scientific| location=Singapore | year=2001 | isbn=981-02-4541-6}}
</ref><ref>
{{cite book|author=Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac)|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|edition=2nd|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|year=1624|pages= 18–33|url=http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de}} Nestas páxinas, Bachet proba (sen ecuacións) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Dados dous números primos entre eles, enonctrar el menor mútliplo de cada un de eles tal que un múltiplo exceda ao outro por unha unidade (1).) Este problema (renomeando, ax - by = 1) é un caso especial da ecuación de Bézout e Bachet fixo uso dela para resolver problemas das páxinas 199.
</ref><ref>{{cite journal|date=February 2009|author=Maarten Bullynck|title=Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany|doi=10.1016/j.hm.2008.08.009|journal=Historia Mathematica|volume=36|issue=1|pages=48–72|url=http://hal.inria.fr/docs/00/66/32/92/PDF/Gauss_Modular_Oct2008.pdf}}</ref>
[[Categoría:Teoría de números]]
Liña 115 ⟶ 116:
== Notas ==
{{Listaref|30em}}
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro|título=Number theory: An introduction to mathematics|apelidos=Coppel|nome=W.A.|editorial=Springer-Verlag|ano=2009|ISBN=9780387894850|ref=}}
*{{Cita libro|título=An Introduction to Number Theory|apelidos=Everest|nome=Graham|editorial=Springer|ano=2008|ISBN=9781852339173|ref=|apelidos2=Ward|nome2=Thomas|serie=Graduate Texts in Mathematics|páxina=37}}
*{{Cita libro|título=An Introduction to the Theory of Numbers|apelidos=Hardy|nome=G. H.|editorial=|ano=|ISBN=978-0199219865|ref=|apelidos2=Wright|nome2=E. M.|edición=6ª}}
*{{Cita libro|título=Elementary Number Theory|apelidos=Jones|nome=Gareth A.|editorial=Springer|ano=1998|ISBN=978-3-540-76197-6|ref=|serie=Springer Undergraduate Mathematics Series|apelidos2=Jones|nome2=Josephine M.|páxinas=1-11}}
*{{Cita libro|título=Number Theory: An Introduction|apelidos=Redmond|nome=Don|editorial=MARCEL DEKKER,|ano=1996|ISBN=0-8247-9696-9|ref=|páxina=13}}
=== Véxase tamén ===
* "''[http://mathworld.wolfram.com/BezoutsIdentity.html Bézout's Identity]''" en ''MathWorld'' {{en}}
* "''[[proofwiki:Bézout's_Lemma|Bézout's Lemma]]''" en ''ProofWiki'' {{en}}
| |||