Identidade de Bézout: Diferenzas entre revisións

En [[teoría de números]], a '''identidade de Bézout''' (tamén coñecido como '''lema de Bézout''') é un teorema que se enuncia como:{{Teorema}}O enteiros"Sexan ''xa'' e ''yb'' son[[enteiro]]s coñecidoscon como[[máximo oscomún divisor]] '''coeficientes de Bézout'd''. paraEntón, existen (''ax'', e ''by''). Esta parella de enteiros nontales éque única''ax e+ podeby calcularse= usando o algoritmo de Euclides estendidod''. DeEn ser ámbolos dous non nulosxeral, oos algoritmoenteiros deda Euclidesforma estendido''ax+by'' <math>|x|\leson \leftexactamente |\frac{b}{d}\rightos |</math>producemúltiplos <math>|y|\le\leftde |\frac{a}{''d}\right |</math>unhas das dúas pares tal que''".

<math>|O enteiros ''x|\le'' \lefte |\frac{''y'' son coñecidos como os '''coeficientes de Bézout''' para (''a'', ''b}{d}\right''). Esta parella de enteiros non é única e pode calcularse usando o algoritmo de Euclides estendido. De ser ámbolos dous non nulos, o algoritmo de Euclides estendido produce unhas das dúas parellas tales que |</math><math>|x|\leq \left|\frac{b}{c}\right| </math> e <math>|y|\leq \left|\frac{a}{c}\right| </math>(a igualdade só pode ocorrer se ''a'' é múltiplo de ''b'' ou, ao revés, se ''b'' é múltiplo de ''a'').<math>|x|\le \left |\frac{b}{d}\right |</math><math>|y|\le\left |\frac{a}{d}\right |</math>

Estas dúas parellas de coeficientes de Bézout pequenos son ob<math>\frac{-x}{b/\gcd(a,b)}</math>tidasobtidas desde a parella {{Math|(''x'', ''y'')}} inicial, ao escoller o {{Math|''k''}} na fórmula de riba algún dos dous enteiros próximo a <math>\frac{-x}{b/\gcd(a,b)}</math> <math> \frac{-x}{b / \gcd(a,b)}</math>.<math>\frac{-x}{b/\gcd(a,b)}</math>

Se {{Math|1=(x, y) = (18, -5)}} é a parella orixinal de coeficientes de Bézout, entón <math> \frac{-18}{42/6} \in [-3,-2]</math> produce as parellas mínimos con {{Math|1=''k'' = 3}} e {{Math|1=''k'' = -2}}, respectivamente: {{Math|1=(18-3⋅7, -5+3⋅2) = (-3, 1)}} e {{Math|1=(18-2⋅7, -5+2⋅2) = (4, -1)}}.<math>\frac{-18}{42/6} \in [-3, -2]</math>

Sexan ''a'' e ''b'' dous enteiro<math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} </math>senteiros non nulos calquera. Definimos a partir deles o conxunto<math> S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \ \text{ e } \ ax+by>0\}</math>, que trivialmente non está baleiro, xa que contén como pouco aos enteiros ''a'' e ''–a'' (con {{Math|1=''x'' = ±1}} e {{Math|1=''y'' = 0}}).<math> ax+by>0\}.</math> <math>d = as + bt</math>Como ''S'' é un conxunto de enteiros positivo non baleiro<math>d = as + bt</math>, ten un<math>d = as + bt</math> elemento mínimo <math> d = as + bt</math>, polo [[principio da boa ordenación]].<math>d = as + bt</math> Para probar que ''d'' é o máximo común divisor de ''a'' e ''b'', temos que probar dúas cousasː que ''d'' é un divisor común de ''a'' e ''b'', e que para calquera outro común divisor ''c'', un ten {{Math|''c'' < ''d''}}.

: <math>a=dq+r\quad\text{withcon}\quad 0\le r<d.</math>

</math>, porque<math>S\cup \{0\}</math>

Agora, sexa ''c'' ser calquera divisor común de ''a'' e ''b''. Isto implica que teñen que existir ''u'' e ''v'' tal que {{Math|1=''a'' = ''cu''}} e {{Math|1=''b'' = ''cv''}}. Así tense que

O [[matemático]] [[Pobo francés|francés]] [[Étienne Bézout]] (1730–1783) probou esta identidade para polinomios.<ref>{{Cita libro|url=https://books.google.com/books?id=FoxbAAAAQAAJ&hl=en&pg=PP5}}</ref> Con todo, esta afirmación para enteiros xa se atopa no traballo doutro matemático francés, [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]] (1581–1638).<ref>