Identidade de Bézout: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
Creada como tradución da páxina "Bézout's identity" |
mSen resumo de edición |
||
Liña 1:
{{En tradución}}
En [[teoría de números]], a '''identidade de Bézout''' (tamén coñecido como '''lema de Bézout''') é un teorema que se enuncia como:
Moitos outros teoremas elementais de teoría de números son consecuencias da identidade de Bézout, como o [[lema de Euclides]] ou o [[teorema chinés do resto]].
Liña 24:
Isto basease nunha propiedade de división euclidiana: dado dous enteiros ''c'' e ''d'', se ''d'' non divide ''c'', entón hai exactamente unha parella {{Math|(''q'',''r'')}} tal que {{Math|1=''c'' = ''dq'' + ''r''}} e {{Math|0 < ''r'' < {{!}}''d''{{!}}}}, e outra tal que {{Math|1=''c'' = ''dq'' + ''r''}} e {{Math|-{{!}}''d''{{!}} < ''r'' < 0}}.
Estas dúas parellas de coeficientes de Bézout pequenos son
O algoritmo de Euclides estendido sempre produce unha destas dúas parellas mínimos.
Liña 43:
</math>
Se {{Math|1=(x, y) = (18, -5)}} é a parella orixinal de coeficientes de Bézout, entón
<br />▼
== Proba ==
Sexan ''a'' e ''b'' dous
A división euclidiana de ''a'' por ''d'' pode ser escrito
:
O resto ''r'' pertence ao conxunto <math>
S \cup \{0\}
</math>, porque
: <math>
Liña 67 ⟶ 66:
Como ''d'' é o menor enteiro positivo en S, o resto ''r'' é necesariamente 0, e isto implica que ''d'' é un divisor de ''a''. Analogamente, próbase que ''d'' é tamén un divisor de ''b'', e, en conclusión, ''d'' é un divisor común de ''a'' e ''b''.
Agora, sexa ''c'' ser calquera divisor común de ''a'' e ''b''. Isto implica que teñen que existir ''u'' e ''v'' tal que {{Math|1=''a'' = ''cu''}} e {{Math|1=''b'' = ''cv''}}. Así tense que
: <math>\begin{align}d&=as + bt\\
Liña 101 ⟶ 100:
=== Para dominios ideais principais ===
A identidade de Bézout pode ser escrita non soamente no anel de
▲A identidade de Bézout pode ser escrita non soamente no anel de inteiros relativos, mais tamén en calquera outro dominio de ideais principais (DIP). (Nótese que, neste caso, o máximo común divisor enténdese no sentido da relación de preorde fornecida pola divisibilidade no anel, e a unicidade deste preservase baixo un factor invertíbel tomado do anel) Isto é que, se ''R'' é un DIP, e ''a'' e ''b'' pertencen a ''R'', entón existe un máximo común divisor ''d'' de ''a'' e ''b'' e existen elementos ''x'' e ''y'' en R tal aquel ''ax'' + ''py'' = ''d''.
A razón disto é que o ideal xerado por ''Ra''+''Rb'' é principal. De feito, ao pertencer a ''R'', todo xerador ''d'' de ''Ra''+''Rb'' é un divisor común de ''a'' e ''b,'' e é o máximo no sentido de divisibilidade, isto é, para dicir que todo divisor común divide ''d'' (xa que ''c'' divide todo elemento de ''Ra''+''Rb'').
Liña 112 ⟶ 107:
== Historia ==
O [[matemático]] [[Pobo francés|francés]] [[Étienne Bézout]] (1730–1783) probou esta identidade para polinomios.
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Álxebra]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
== Notas ==
▲<br />
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
<br />
|