Factorización: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
mSen resumo de edición |
m Terminada a tradución do artigo da Wikipedia en inglés Etiqueta: edición de código 2017 |
||
Liña 1:
[[Ficheiro:Factorisatie.svg|dereita|miniatura|O polinomio ''x<sup>2</sup> + cx + d'', on''d''e ''a + b = c'' e ''ab = d'', pode ser factorizado en (''x + un'')(''x + b'').]]
En [[matemáticas]], a '''factorización''' consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios ''factores'', normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, {{Math|3 × 5}} é un factorización do [[Número enteiro|enteiro]] {{Math|15}}, e {{Math|(''x'' – 2)(''x'' + 2)}} é un factorización do [[polinomio]] {{Math|''x''<sup>2</sup> – 4}}.
Liña 8 ⟶ 6:
Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o teorema fundamental da aritmética, que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser factorizados en enteiros maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito basease o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha criptografía de chave pública.
Un [[
▲polinomio factorización Tamén Foi estudado para séculos. En elemental álxebra, factoring un polinomio reduce o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. polinomios Con coeficientes no enteiros ou nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] posúe o único factorización propiedade, unha versión do fundamental teorema de aritmética cos números primos substituíron por irreducível polinomios. En particular, un [[Polinomio|univariate polinomio]] cos coeficientes [[Número complexo|complexos]] admite un único (até pedir) factorización a [[Polinomio|lineal polinomios]]: isto é unha versión do [[Teorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra.]] Neste caso, o factorización pode ser feito con algoritmos que atopan raíz. O caso de polinomios con enteiro os coeficientes é fundamentais para computador álxebra. Hai [[Algoritmo|algoritmos]] de computador eficiente para informática (completo) factorizacións dentro do anel de polinomios con coeficientes de número racional (ve factorización de polinomios).
▲Un [[Anel conmutativo|commutative]] o anel que posúe o único factorización a propiedade é chamada un único factorización dominio. Hai [[Número|sistemas de número]], como aneis seguros de alxébrico enteiros, os cales non son únicos factorización dominios. Con todo, aneis de alxébrico enteiros satisfacer a propiedade máis débil de Dedekind dominios: factor de ideais uniquely a ideais primos.
O termo ''factorización''
== Enteiros ==
Polo [[teorema fundamental da aritmética]], todo enteiro maior que 1 ten unha única (a menos cambios da orde) factorización en [[Número primo|números primos]], que son os enteiros que non poden ser factorizados no produto de [[Número enteiro|enteiros]] maiores que 1.
Para calcular a factorización dun enteiro ''n'', precísase dun [[algoritmo]] para atopar un divisor ''q'' de ''n'' ou que ''n'' é primo, e polo tanto non existe ''q''. De atoparen o divisor ''q'', obteríanse dous factores de ''n'', {{Math|''n'' / ''q''}} e ''q'', nos que, ao aplicárenlles este algoritmo repetidamente, conséguese a factorización completa de n.<ref>{{Cita libro|apelido1=Hardy |apelido2= Wright|título= An Introduction to the Theory of Numbers|isbn=978-0198531715|edición=5ª|ano=1980|editor=Oxford Science Publications}}</ref>
Para atopar un divisor ''q'' de ''n'', se ten algún, abonda con probar todos os valores ''q'' tal que
Ao procuraren divisores en orde crecente, o primeiro divisor que sexa atopado ten que ser necesariamente un número primo, e o ''cofactor'' r = n / q non pode ter ningún divisor menor que ''q''. Para conseguiren a factorización completo, abondará con continuar o algoritmo na procura dun divisor de ''r'' que nin é máis pequeno que ''q'', nin é máis grande que ''√r''.
Non é preciso probar tódolos valores de ''q'' para aplicaren o método, pois chega con probar con todos os primos divisores. Mais isto xa precisa dunha táboa de número primos como, por exemplo, a xerada mediante a [[criba de Eratóstenes]]. Como método de factorización fai esencialmente o mesmo traballo como a criba de Eratosthenes, en xeral é máis eficiente de probar como divisor só aqueles números que non é evidente se son primos ou non.
Este método funciona ben para a factorización de números enteiros pequenos, mais é ineficiente para máis grande enteiros. Por exemplo, [[Pierre de Fermat]] non foi quen de descubrir que o sexto [[número de Fermat]]
Liña 39 ⟶ 36:
* Comézase dividindo por 2: o número é par, e {{Math|1=''n'' = 2 · 693}}. Continúase con 693, e 2 como primeiro divisor candidato.
*693 é impar (2 non é divisor), mais é un múltiplo de 3: {{Math|1=693 = 3 · 231}} e {{Math|1=''n'' = 2 · 3 · 231}}. Continúase con 231, e 3 como primeiro divisor candidato.
* {{Math|1=231 = 3 · 77}} , e é tamén
* 77 non é un múltiplo de 3 porque a suma dos seus díxitos é 14, que non un múltiplo de 3. Tampouco é un múltiplo de 5, ao non ser o seu último díxito é 7. O próximo divisor a probaren é 7. Temos que {{Math|1=77 = 7 · 11}}, e entón {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}}. Isto amosa que 7 é primo (cousa fácil de probar directamente). Continúase con 11, e 7 como primeiro divisor candidato.
* Como {{Math|7<sup>2</sup> > 11}}, remata; 11 é primo, e a factorización en primos é {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}}.
Liña 56 ⟶ 53:
Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, <math>x^{997}-1</math>pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: <math>x-1</math> e <math>x^{996}+x^{995}+\cdots+x^2+x+1</math>.
A solución de ecuación alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, fe feito, o [[Teorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra]] pode ser enunciado cun caracter de factorización: todo polinomio {{Math|''x''}} de grao {{Math|''n''}} cos coeficientes complexos factoriza en {{Math|''n''}} factores lineais <math>x-a_i,</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, onde os {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} son as raíces do [[
=== Historia da factorización de expresións ===
O uso sistemático de manipulacións alxébricas para simplificar expresións (máis especificamente [[Ecuación|ecuacións]]) rexístrase até século IX, co libro ''[[Libro Compendio sobre Cálculo por Restauración e Balanceamento]]'' de [[Al-Khwarizmi]], titulado con dous tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar [[ecuacións cadráticas]], a factorización non se utilizou até a publicación en 1631 do traballo de [[Thomas Harriot]], dez anos após a súa morte. <ref>In {{cita libro|nome=Vera|apelido=Sanford|título=A Short History of Mathematics|ano=2008|origyear=1930|editor=Read Books|isbn=9781409727101}}.</ref>
No seu libro ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'', Harriot debuxou, nunha primeira sección, táboas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nunha segunda sección, montou a ecuación {{Math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca'' = + ''bc''}} , e mostrou que isto emparella a forma da multiplicación, xa proporcionada, sendo a factorización {{Math|(''a'' − ''b'')(''a'' + ''c'')}} .
<ref>[https://books.google.com/books?id=771CAAAAcAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot, ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'']</ref>
=== Métodos xerais ===
Liña 69 ⟶ 67:
No caso de seren produtos todos os termos dunha suma e que algúns factores sexan comúns a tódolos termos, pola [[Distributividade|propiedade distributiva]] pódese factorizar este factor común. Tamén, de haber coeficientes enteiros, pódese sacar fóra o [[máximo común divisor]] destes coeficientes.
Por exemplo,<ref>{{harvnb|Fite|1921|p=19}}</ref>
: <math>6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),</math>
Liña 103 ⟶ 101:
: <math>x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2= (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2 +1\right)\left(x^2-x\sqrt2 +1\right).</math>
Sumar e restar
: <math>x^4+1=\left(x^2+x\sqrt{-2} -1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2} -1\right).</math>
Estas factorizacións non só traballan sobre os números complexos, mais tamén sobre calquera [[Corpo (álxebra)|corpo]] onde 1, 2 ou –2
: <math>x^4 + 1 \equiv (x+1)^4 \pmod 2;</math>
Liña 117 ⟶ 115:
Moitas [[Identidade (matemáticas)|identidades]] proporcionan igualdades entre unha suma e un produto. Os métodos anteriormente descritos poden ser utilizados para deixar illar na expresión a parte da suma, para despois substituíla por un produto.
Nas seguintes identidades, o lado dereito será usado como patrón. Deste xeito, as variábeis ''E'' e ''F'' que aparecen na identidades poden representar calquera subexpresión da expresión da expresión a factorizar.<ref>{{harvnb|Selby|1970|p=101}}</ref>
*; Diferenza de dous cadrados
Liña 168 ⟶ 166:
[[Ficheiro:Binomial_theorem_visualisation.svg|miniatura|300x300px|Visualisación De binomial expansión até o 4.º poder]]
: O [[Binomio de Newton|teorema do binomial]]
::<math> a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2</math>
::<math> a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2</math>
Liña 204 ⟶ 202:
:<math> a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 - \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 -\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>
A miúdo, quérese unha factorización con coeficientes racionais. Tal factorización implica
<math>\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.</math>
Liña 213 ⟶ 211:
:<math>E^n+F^n=\prod_{k\mid 2n,k \not\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>
onde os produtos son
Por exemplo, <blockquote><math>a^6-b^6= \overline Q_1(a,b)\overline Q_2(a,b)\overline Q_3(a,b)\overline Q_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),</math></blockquote><blockquote><math>a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^2),</math></blockquote>aa que o divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, e o divisores de 12 que non divide a 6 son 4 e 12.
Liña 249 ⟶ 247:
&= a_0\bar{x}^n + a_1\bar{x}^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\bar{x} + a_n = \\
&= P(\bar{x})
\end{align}</math></blockquote>e entón <blockquote><math>P(r) = 0 \implies P(s) = P(\bar{r}) = \overline{P(r)} = 0</math></blockquote>
Para calcularen estas factorizacións reais ou complexas, tense que coñecer as raíces do polinomio, malia que, en xeral, non poderán ser calculadas exactamente, e ter que recorrer a valores aproximados dos valores das raíces.
A maioría de
▲A maioría de alxébrico ecuacións que son atopadas na práctica ha [[Número enteiro|enteiro]] ou coeficientes [[Número racional|racionais]], e un pode querer un factorización con factores da mesma clase. O [[Teorema fundamental da aritmética|fundamental teorema de aritmética]] pode ser xeneralizado a este caso. Aquilo é, polinomios con enteiro ou os coeficientes racionais teñen o único factorización propiedade. Máis precisamente, cada polinomio cos coeficientes racionais poden ser factorizado nun produto
: <math>P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),</math>
=== Factorización primitiva baseada no contido ===
Liña 271 ⟶ 265:
: <math>\frac{1}{3}x^5 + \frac{7}{2} x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{6} ( 2x^5 + 21x^2 + 12x + 6)</math>
Nesta factorización,
* En primeiro lugar,
* Entón
* Finalmente, se
=== Utilizando o teorema do factor ===
Liña 314 ⟶ 308:
onde ámbolos dous factores teñen coeficientes enteiro (que Q teña coeficientes enteiros vén da fórmula do cociente de {{Math|''P''(''x'')}} por <math>x-p/q</math>).
Ao compararen coeficientes de grao ''n'' e os coeficientes constantes na igualdade de enriba, é claro que, se <math>\frac pq</math>é unha raíz racional en [[Fracción irredutible|forma reducida]], entón ''q'' é divisor de <math>a_0,</math> ''p'' é un divisor de <math>a_n.</math>Por tanto, hai un número finito de posibilidades para ''p'' e ''q'' e poden ser exploradas de forma sistemática.<ref>{{harvnb|Dickson|1922|p=27}}</ref>
Por exemplo, se o polinomio
Liña 320 ⟶ 314:
: <math>2x^3 - 7x^2 + 10x - 6</math>
ten unha raíz racional
: <math>\frac pq \in \{1, 2, 3, 6, \frac 12, \frac 32\}.</math>
Liña 329 ⟶ 323:
==== Método AC ====
Ao restrinxir só a polinomios cadráticos, este método pode ser adaptado na chamado ''método ac'' de factorización.<ref>Stover, Christopher [http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html AC Method - Mathworld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141112231252/http://mathworld.wolfram.com/ACMethod.html |date=2014-11-12 }}</ref>
Sexa o polinomio cadrático <math>ax^2 + bx + c</math>de coeficientes enteiro. Se ten unha raíz racional, o seu denominador ten que dividir {{Math|''a''}} . Por tanto, de escribiren a raíz como [[Fracción irredutible|fracción reducíbel]] <math>\frac ra</math>, polas [[fórmulas de Vieta]], a outra raíz é
Liña 335 ⟶ 329:
: <math>-\frac ba-\frac ra =-\frac{b+r}a = \frac sa,</math>
Con <math>s=-(b+r).</math>Por isto a segunda raíz é tamén racional, e segundo a fórmula de Vieta
: <math>\frac sa\frac ra =\frac ca,</math>
Liña 375 ⟶ 369:
Se ''a'', ''b'', ''c'' son todos [[Número real|reais]], os factores son reais se e só se o discriminante <math>b^2-4ac</math>é non-negativo. De no ser deste xeito, o polinomio cadrático non factoriza con factores reais non constantes.
A fórmula cadrática é válida cando os coeficientes pertencen a calquera [[corpo]] de [[Característica (álxebra)|característica]] diferente de 2, e, en particular, para coeficientes nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] finito cun número impar de elementos.<ref>Nun anel de característica 2, tense que 2=0 que produce que na fórmula haxa unha división entre 0.</ref>
Tamén existen fórmulas para raíces polinomios de grados 3 e 4, mais son en xeral complicados de máis para uso práctico. O [[teorema de Abel–Ruffini]] demostra que non existen fórmulas xerais para as raíces en termos de radicais para polinomios de grao cinco ou maior.
Liña 386 ⟶ 380:
Isto implica que <math>x_1</math>é unha raíz común de <math>P(Q(x))</math>e <math>P(x).</math>De aí que, polo tanto, tamén é unha raíz do [[máximo común divisor]] de ámbolos dous polinomios. Entón o máximo coún divisor é un factor non constante de <math>P(x)</math>e o algoritmo de Euclides de polinomios permite calculalo
Por exemplo, <ref>{{harvnb|Burnside|Panton|1960|p=38}}</ref> se se adiviña que <math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math> ten dúas raíces que suman a cero, pódese aplicar entón o algoritmo de Euclides <math>P(x)</math>e <math>P(-x).</math> O primeiro paso consiste en sumar <math>P(x)</math> e <math>P(-x),</math>dando o resto de
: <math>-10(x^2-16).</math>
Liña 395 ⟶ 389:
O [[enteiro]]s e o [[polinomio]]s sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] comparte a propiedade de factorización única, que consiste en que todo elemento non nulo factoriza nun produto de elementos invertíbeis (unha unidade, ±1 no caso de enteiros) e un produto de elementos irredutíbel ([[Número primo|números primos]], no caso dos enteiros), e este factorización é única apenas cambios da orde dos factores. Os dominios de integridade que comparten esta propiedade é son chamados dominios de factorización única (DFU).
O máximo común divisor sempre existe nos DFU e, inversamente, todo dominio de integridade
Un dominio euclideá é un dominio de integridade no cal está definida unha división euclidiana, similar a dos enteiros. Todo dominio euclidiano é un dominio de ideais principais e, polo tanto, un DFU.
Liña 417 ⟶ 411:
Os aneis de matrices son non conmutativos e non teñen unha única factorización: hai, en xeral, moitos xeitos de escribir unha [[Matriz (matemáticas)|matriz]] como produto de matrices. Así, o problema da factorización muda a consistir no problema de atopar factores de certas formas específicas. Por exemplo, a [[descomposición LU]] factoriza unha matriz como o produto dunha [[Triangular inferior|matriz triangular inferior]] e mais unha [[Triangular superior|matriz triangular superior]]. As veces non é sempre posíbel, polo que se considera a "descomposición LUP" tendo unha [[matriz permutación]] como o terceiro factor.
Unha [[matriz lóxica]] representa un relación binaria, e multiplicación de matrices corresponde á composición de relacións. A descomposición dunha relación factorizándoa serve para percibir mellor a natureza da relación, como no caso dunha relación difuncional.
== Notas ==
{{listaref|30em}}
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro|nome1=William Snow|apelidos=Burnside|nome2=Arthur William|apelidos2=Panton|título=The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one)|ano=1960|editor=Dover|editorial=|ISBN=|ref=|ano-orixinal=1912}}
* {{cita libro|nome=Leonard Eugene|apelidos=Dickson|título=First Course in the Theory of Equations|year=1922|editor=John Wiley & Sons|place=New York|editorial=|ano=|ISBN=|ref=}}
* {{ cita libro|nome=William Benjamin|apelidos=Fite|título=College Algebra (Revised)|year=1921|editor=D. C. Heath & Co.|place=Boston}}
* {{ cita libro|nome=Felix|apelidos=Klein|authorlink=Felix Klein|título=Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis|year=1925|editor=Dover}}
* {{ cita libro|nome=Samuel M.|apelidos=Selby|título=CRC Standard Mathematical Tables|edición=18|editor=The Chemical Rubber Co.}}
=== Ligazóns externas ==
* [[Wolfram Alpha]] [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%20-2006+%2B+1155+x+-+78+x^2+%2B+x^3] é capaz de realizar factorizacións.
[[Categoría:Aritmética]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
| |||