Diferenzas entre revisións de «Factorización»

m
sen resumo de edición
Etiqueta: edición de código 2017
m
 
=== Métodos xerais ===
Os métodos que son descritos abaixo aplicánseaplícanse a calquera expresión que é unha suma, ou ben pode ser transformado nunha suma. Por tanto, acotío son usadas cos [[polinomio]]s, mesmo tamén se poden aplicar cando os termos da suma non son monomios, senón que son produto de variábeis e constantes.
 
==== Factor común ====
Inversamente, o [[teorema do factor]] afirma que, se ''r'' é unha raíz de ''P'', entón ''P'' pode ser escribir da forma <blockquote><math>P(x)=(x-r)Q(x),</math></blockquote>onde {{Math|''Q''(''x'')}} é o cociente da división euclidiana de ''P'' por {{Math|''x'' – ''r''}}.
 
Se os coeficientes de P son números reais ou complexos, o [[teorema fundamental da álxebra]] afirma que P ten unha raíz [[Número real|real]] ou [[Número complexo|complexa.]] Entón, uilizandoutilizado oco teorema do factor recursivamente, resulta en que
 
:<math>P(x)=a_0(x-r_1)\cdots (x-r_n),</math>
:
:
 
onde <math>r_1, \ldots, r_n</math> son as raíces, reais ou complexas, de ''P'' e con posíbeis repeticións. Esta factorización completa é única levada a orde dos factores.
O<math>r_1, \ldots, r_n</math>}
É as raíces reais ou complexas de P, con algúns deles posibelmente repetiron. Este completo factorización é único até o encargo dos factores.
 
SeDe seren reais os coeficientes de ''P'', épolo real,xeral unquérese queretamén xeralmente ununha factorización onde os factores teñentivesen coeficientes reais. Neste caso, os factores do completoda factorización podecompleta terpoden algúnschegar factoresa que teñen oter grao dous. Este factorización facilmente pode ser formafacilmente deducida oda encimaforma completofactorización factorizacióncompleta. De feito, {{Math|1=''s'' = ''a'' - ''ib''}}ese {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} = un {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} ib é {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}}haunha raíz non real de ''P'', entón o seu complexo conxuga s = unconxugado {{Math|1=''s'' = ''a'' - ''ib''}} {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} é tamén unha raíz de ''P. Tan'', oxa que produto <blockquote><math>\begin{align}
\overline{P(x)} &= \overline{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n} = \\
&= \overline{a_0x^n}+\overline{a_1x^{n-1}}+ \cdots \overline{a_{n-1}x} + \overline{a_n} = \\
&= a_0\bar{x}^n + a_1\bar{x}^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\bar{x} + a_n = \\
&= P(\bar{x})
\end{align}</math></blockquote>e entón <blockquote><math>P(r) = 0 \implies P(s) = P(\bar{r}) = \overline{P(r)} = 0</math></blockquote>{{Math|1=''s'' = ''a'' - ''ib''}}e {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} = un {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} ib é {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}}ha raíz non real de P, entón o seu complexo conxuga s = un {{Math|1=''s'' = ''a'' - ''ib''}} {{Math|1=''r'' = ''a'' + ''ib''}} é tamén unha raíz de P. Tan, o produto
 
: <math>(x-r)(x-s) = x^2-(r+s)x+rs =x^2+2ax+a^2+b^2</math>
: <math>P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),</math>
 
Onde q é un número raconalracional e <math>P_1, \ldots, P_k</math>É non-constante polinomios con enteiro coeficientes que son irreducívelirredutíbel e primitivo; isto significa que ningún <math>P_i</math>Pode ser escrito como o produto dous polinomios (con enteiro coeficientes) que son tampouco 1 nin –1 (enteiros é considerado tan polinomios de grao cero). Ademais, este factorización é único até o encargo dos factores e a multiplicación por –1 dun número uniforme de factores.
 
Hai [[Algoritmo|algoritmos]] eficientes para computar este factorización, os cales son aplicados na maioría de computador álxebra sistemas. Ve factorización de polinomios. Desafortunadamente, para un papel-e-lapis computación, estes algoritmos son tamén complicar para ser usável. Xunto a xeral heuristics que é descrita encima, só uns cantos métodos son dispoñíbeis neste caso, os cales xeralmente traballan só para polinomios de grao baixo, con poucos non nulo coeficientes. O principal tales métodos son descritos en próximo subseccións.
 
=== Factorización primitiva baseada no contido ===
=== Contido de parte–primitiva factorización ===
CadaTodo polinomio con coeficientes [[Número racional|racionais]], pode ser factorized,factorizado nunde xeito único, cando ocomo produto dun número racional e un polinomio conde coeficientes enteiro coeficientes, o calque é primitivo (aquilo é, o [[Máximo común divisor|máis grandemáximo común divisor]] dos coeficientes é 1), e teno unseu coeficiente principal positivo (coeficiente do termo do grao máis alto) é positivo. Por exemplo:
 
: <math>-10x^2 + 5x + 5 = (-5)\cdot (2x^2 - x - 1)</math>
: <math>\frac{1}{3}x^5 + \frac{7}{2} x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{6} ( 2x^5 + 21x^2 + 12x + 6)</math>
 
Nesta factorización, o número racional nomease como o contido e o polinomio primitivo, como a parte primitiva. O cálculo desta factorización pode ser feita deste xeito:
Neste factorización, o número racional é chamado o contido, e o primitivo polinomio é a parte primitiva. O computación deste factorización pode ser feito cando segue: en primeiro lugar, reducir todos os coeficientes a un denominador común, para conseguir o cociente por un enteiro q dun polinomio con enteiro coeficientes. Entón un divide fóra do máis grande común divisor p dos coeficientes deste polinomio para conseguir a parte primitiva, o ser de contido <math>p/q.</math>Finalmente, se necesitado, un muda os sinais de p e todos os coeficientes da parte primitiva.
 
* En primeiro lugar, redúcesen todos os coeficientes a un denominador común, para conseguir o cociente por un enteiro q dun polinomio con enteiro coeficientes.
Este factorización pode producir un resultado que é máis grande que o orixinal polinomio (tipicamente cando hai moitos [[Números primos entre si|coprime]] denominadores), mais, mesmo cando isto é o caso, a parte primitiva é xeralmente máis fácil de manipular para máis afastado factorización.
* Entón un divide fóra do máis grande común divisor p dos coeficientes deste polinomio para conseguir a parte primitiva, o ser de contido <math>p/q.</math>
* Finalmente, se necesita, un muda os signos de ''p'' e tódolos coeficientes da parte primitiva.
 
Este factorización pode producir un resultado que é máis grande que o orixinal polinomio orixinal (tipicamenteo candoexemplo típico é se hai moitos denominadores [[Números primos entre si|coprimecoprimos]] denominadores), mais, mesmo cando isto é o caso, a parte primitiva é xeralmente máis fácil de manipular para máis afastadofactorizacións factorizaciónposteriores.
 
=== Utilizando o teorema do factor ===
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_0</math>
 
(Aquiloo énúmero que cumpre que ''P(r) = 0 ''), entón hai un factorización
 
: <math>P(x)=(x-r)Q(x),</math>
 
onde
Onde
 
: <math>Q(x)=b_0x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1},</math>
 
Concon <math>a_0=b_0,</math> e <math>b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n'' – 1}}
 
 
 
<math>a_0=b_0,</math> E
 
: <math>b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i</math>
 
Para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n'' – 1}}
 
Isto pode ser útil cando, calquera por inspección, ou por utilizar algúns información externa, un sabe unha raíz do polinomio. Para informática Q(x), en vez de utilizar o por riba de fórmula, un tamén pode utilizar polinomio división longa ou división sintética.
 
Por exemplo, para o polinomio
<math>x^3 - 3x + 2,</math>
Un facilmente pode ver que a suma dos seus coeficientes é 1. Po{{Math|1=''r'' = 1}} isto r = 1 é unha raíz. Cando r + 0 = 1, e
<math>r^2 +0r-3=-2,</math>
Un ten
 
Isto pode ser útil cando, calqueratanto pordunha inspección, ou por utilizar algúnsdunha información externa, un sabecóñecese unha raíz do polinomio. Para informáticacalcular ''Q(x)'', enno vezlugar de utilizar ofórmula por riba de fórmulaanterior, un tamén podeé utilizarposíbel polinomiousar divisióna longa[[regra ou divisiónde sintéticaRuffini]].
 
UnPor exemplo, para o polinomio <math>x^3 - 3x + 2,</math>un facilmente podepodería ver que a suma dos seus coeficientes é 10. PoPor isto, {{Math|1=''r'' = 1}} isto r = 1 é unha raíz. CandoComo {{Math|1=''r'' + 0 = 1}}, e <math>r^2 +0r-3=-2,</math>tense que
 
: <math>x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2).</math>
 
=== AC method ===
ConSexa enteiroo polinomio cadrático <math>ax^2 + bx + c</math>de coeficientes enteiro. Se ten {{Math|''a''}} ha raíz racional, o seu denominador ten que divide un equitativamente. Tan, pode se<math>\frac ra.</math> escrito como posibelmente [[Fracción irredutible|reducívelfracción fracciónreducíbel]] .
Deixado considerar o polinomio cadrático
 
: <math>ax^2 + bx + c</math>
 
Con enteiro coeficientes. Se ten {{Math|''a''}}ha raíz racional, o seu denominador ten que divide un equitativamente. Tan, pode se<math>\frac ra.</math> escrito como posibelmente [[Fracción irredutible|reducível fracción]]
<math>\frac ra.</math>Por Vieta fórmulas, a outra raíz é<math>\frac ra.</math>
 
 
=== Utilizando fórmulas para polinomio raíces ===
alqueraCalquera ivariateinvariate polinomio cadrático
<math>ax^2+bx+c</math>
É as dúas raíces do polinomio.
 
Se un, b, c é todo [[Número real|real]], os fatoresfactores son reais se e só se o discriminantdiscriminante
<math>b^2-4ac</math>
 
É non-negativo. Doutro xeito, o polinomio cadrático non pode ser factorizadoafactorizándoa non-factores reais constantes.
 
O quadratic a fórmula é válida cando os coeficientes pertencen a calquera corpo de característico diferente desde dous, e, en particular, para coeficientes nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] finito cun número estraño de elementos.
hai tamén fórmulas para raíces de cúbico e quartic polinomios, os cales son, en xeral, tamén complicado para uso práctico. O Abel–Ruffini teorema mostra que hai non fórmulas de raíz xeral en termos de radicais para polinomios de grao cinco ou máis alto.
 
=== UsingUsando relationsrelacións betweenentre rootsraíces ===
Pode ocorrer que un sabe algunha relación entre as raíces dun polinomio e os seus coeficientes. Utilizando este coñecemento pode axudar factoringa factorar o polinomio e atopando as súas raíces. [[TeoríaA teoría de Galois|Galois]] A teoría éestá baseada nun estudo sistemático das relacións entre raíces e coeficientes, que inclúen Vietainclúe as fórmulas de Vieta.
 
Aquí, consideramosconsiderarase o caso máis sinxelo onde dúas raíces <math>x_1</math>e <math>x_2</math> dun polinomio <math>P(x)</math>satisfán a relación<math>x_2=Q(x_1),</math>onde Q é un polinomio.
 
Isto implica que <math>x_1</math>Éé unha raíz común de <math>P(Q(x).)</math>e <math>P(Q(x)).</math>ODe seu éque, porpolo tanto, tamén é unha raíz do máis grande[[máximo común divisor]] de destesámbolos dous polinomios. SegueEntón queo estemáximo máis grande comúncoún divisor é un factor non constante de <math>P(x).</math>e o algoritmo de Euclides de polinomios permite calculalo
<math>x_1</math>
E
<math>x_2</math>
Dun polinomio <math>P(x)</math>Satisfacer a relación
 
Por exemplo, se se adiviña que <math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math>Ten ten dúas raíces que suman a cero, un podepódese aplicar Euclideanentón o algoritmo ade Euclides <math>P(x)</math>e <math>P(-x).</math> O primeiro paso de división consiste en engadirsumar <math>P(x)</math> e <math>P(-x),</math>Dandodando o remainderresto de
: <math>x_2=Q(x_1),</math>
 
Onde Q é un polinomio.
 
Isto implica ue
<math>x_1</math>É unha raíz común de <math>P(x).</math><math>P(Q(x))</math>O seu é por tanto unha raíz do máis grande común divisor destes dous polinomios. Segue que este máis grande común divisor é un factor non constante de <math>P(x).</math>
 
Euclidean Algoritmo para polinomios deixa computar este factor común máis grande.<math>P(x).</math>
 
Por exemlo, se un sabe ou adiviñar aquilo:
 
<math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80</math>Ten dúas raíces que suman a cero, un pode aplicar Euclidean algoritmo a <math>P(x)</math>e <math>P(-x).</math> O primeiro paso de división consiste en engadir<math>P(x)</math> <math>P(-x),</math>Dando o remainder de
 
: <math>-10(x^2-16).</math>
 
Entón, dividindo <math>P(x)</math>por <math>x^2-16</math> cero como novo resto, e {{Math|''x'' – 5}} como cociente, chegando así á factorización completa<blockquote><math>P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80 = (x-5)(x-4)(x+4)</math> </blockquote>
 
Dá cero como novo remainder, e x {{Math|''x'' – 5}} como cociente, liderando ao completo factorización<math>P(x)</math><math>x^2-16</math>
 
== Dominios de factorización única ==
319

edicións