|
=== Patróns recoñecíbeis ===
Moitas [[Identidade (matemáticas)|identidades]] proporcionan unha igualdadeigualdades entre unha suma e un produto. OOs pormétodos ribaanteriormente dos métodosdescritos poden ser utilizados para deixar oillar ladona deexpresión sumaa dalgunhaparte identidadeda aparece nunha expresiónsuma, ospara cales por tanto poden serdespois substituídossubstituíla por un produto.
AbaixoNas éseguintes identidades, cuxoso ladoslado esquerdosdereito sonserá xeralmente utilizadousado como patrónspatrón. (istoDeste significa quexeito, as variábeis ''E'' e ''F'' que aparecen nestasna identidades poden representar calquera subexpressionsubexpresión da expresión queda ten queexpresión sera factorizadafactorizar.
*; Diferenza de dous cadrados
*; Diferenza/de suma de dúas potencias n-ésimas
: Nas identidades seguintes, osao factoresfactorizar aaparecen miúdo poden sertermos máis afastados factorizedlongos:
:*; Diferenza, expoñente uniforme
:: <math>E^{2n}-F^{2n}= (E^n+F^n)(E^n-F^n)</math>
:*; Diferenza, mesmo ou expoñente estraño
:: <math> E^n - F^n = (E-F)(E^{n-1} + E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 + \cdots + EF^{n-2} + F^{n-1} )</math>
:: Isto é un exemplo mostrandoque amosa que osun factoresfactor podenpode serter moitomoitos máis grandetermos que a suma que é factorizedfactoriza.
:*; Suma, expoñente estraño
:: <math> E^n + F^n = (E+F)(E^{n-1} - E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 - \cdots - EF^{n-2} + F^{n-1} )</math>
:: (Obtido por cambiante ''F'' por –F–''F'' na fórmula de precederanterior)
:*; Suma, expoñente uniforme
:: Se o expoñente é ununha poderpotencia de dous entóndos, a expresión non se pode non,factorizar en xeral, ser factorizado sen presentarengadir números complexos (sede conter E e F conter [[Número complexo|números complexos]], isto pode ser nonmudar o caso). SSe n te''n'' te un estrañodivisor divisorimpar, que é se n = {{Math|1=''n'' = ''pq''}} con {{Math|1=''p''}} estrañoimpar, unpoderíase podeusar utilizarfórmula ado órmulacaso de preceder (en “Suma, expoñente estraño”)impar aplicouaplicado a <math>(E^q)^p+(F^q)^p.</math>
*; Trinomiais e fórmulas cúbicas
[[Ficheiro:Binomial_theorem_visualisation.svg|miniatura|300x300px|Visualisación De binomial expansión até o 4.º poder]]
: O [[Binomio de Newton|teorema do binomial]] subministra patróns de subministracións que facilmente poden ser recoñecido desdegrazas oaos enteiros que aparecen. Con grados nelespequenos:
:: <math> a^ 32 -+ 3a^2b2ab + 3abb^2 - b^3 = (a - + b)^ 3 2</math> ▼: En grao baixo:
:: <math> a^2 +- 2ab + b^2 = (a +- b)^2</math>
:: <math> a^23 -+ 2ab3a^2b + b3ab^2 + b^3 = (a - +b)^23 </math>
:: <math> a^3 +- 3a^2b + 3ab^2 +- b^3 = (a+-b)^3 </math>
: Máis xeralmente, o<nowiki/>s coeficientes das formas expandidas de <math>(a+b)^n</math> e <math>(a-b)^n</math>son os coeficientes binomiais que aparecen na n-ésima fileira do [[triángulo de Pascal]].
▲:: <math> a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 </math>
: Máis xeralmente, [[Triángulo de Pascal|o]]<nowiki/>s coeficie<math>(a+b)^n</math>tes das formas expandidas de ( un
==== Raíces de unidade ====
As n-ésimas raíces da unidade son os [[Número complexo|números complexos]] tales que son a raíz do polinomio <math>x^n-1</math>e son da forma:
: <math>e^{2ik\pi/n}=\cos \frac{2\pi}n +i\sin \frac{2\pi}n</math>
para <math>k=0, \ldots, n-1.</math> ▼
Para
▲<math>k=0, \ldots, n-1.</math>
Segue queDedúcese para calquera dúas expresións calquera ''E '' e ''F '', un tentense: ▼
▲Segue que para calquera dúas expresións E e F, un ten:
: <math>E^n-F^n= (E-F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E-F e^{2ik\pi/n}\right)</math>
: <math>E^{n}+F^{n}=\prod_{k=0}^{n-1} \left(E-F e^{(2k+1)\pi/n}\right) \qquad \text{ifse } n \text{ isé evenpar}</math>
: <math>E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod_{k=1}^{n-1}\left(E+F e^{2ik\pi/n}\right) \qquad \text{ifse } n \text{ isé oddimpar}</math>
Se ''E'' e ''F'' éson expresiónsexpresión reais, e unde querequereren factores reais, un tenteríase que substituír cada par de complexo conxugarcomplexos factores conxugados polo seu produto. CandoComo o complexo conxugaconxugado dE<math>e^{i\alpha}</math>é <math>e^{-i\alpha},</math>e <math>\left(a-be^{i\alpha}\right)\left(a-be^{-i\alpha}\right)=
: <math>\left(a-be^{i\alpha}\right)\left(a-be^{-i\alpha}\right)=
a^2-ab\left(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\right)+b^2e^{i\alpha}e^{-i\alpha}=
Una^2-2ab\cos\,\alpha te{{Math|''n''+b^2, – ''k''}}</math>dedúcese oa seguinte real factorizacións ( #uncambiando pases desde undun ao outro por cambiantetrocando ''k '' a n –en {{Math|''n'' – ''k''}} ou n + 1 {{Math|''n'' – ''k'' +1}} k, e aplicando o[[Identidade habitual(matemáticas)|fórmulas trigonometric fórmulastrigonométricas]]: ▼a^2-2ab\cos\,\alpha +b^2, </math>
▲Un te{{Math|''n'' – ''k''}} o seguinte real factorizacións (#un pases desde un ao outro por cambiante k a n – {{Math|''n'' – ''k''}} ou n + 1 {{Math|''n'' – ''k''}} k, e aplicando o habitual trigonometric fórmulas:
: <math>\begin{align}E^{2n}-F^{2n}&= (E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2-2EF \cos\,\frac{k\pi}n +F^2\right)\\
\end{align}</math>
O [[Función trigonométrica|coseno]] que aparece nestesnestas factorizacións é un [[Númeronúmero alxébrico|alxébrico números]], e pode ser expresado en termos de radicais (isto é posíbel porque o seu grupo de Galois é cíclico); con todo, estas expresións [[Raíz (matemáticas)|radicais]] son demasiado complicadas para ser utilizadas, excepto valores baixos de ''n''. Por exemplo
: <math> a^4 + b^4 = (a^2 - \sqrt 2 ab + b^2)(a^2 + \sqrt 2 ab + b^2).</math>
: <math> a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 + \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 +\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>
:<math> a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 - \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 -\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),</math>
A miúdo, un querequérese ununha factorización con coeficientes racionais. Tal factorización implica polinomios ciclotómicos. Para expresar factorizacións racional de sumas e diferenzas ou poderespotencias, ecesitamosprecisamos uda otationotación para a homoxeneización ddun polinomio: se <math>P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,</math>a súa homoxeneización é o [[Polinomio|bivariate polinomio bivariate]]
P
<math>\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.</math>
Entón, tense que
Entón, un ten<math>\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.</math>
: <math>E^n-F^n=\prod_{k\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>
: <math>E^n+F^n=\prod_{k\mid 2n,k \not\mid n}\overline Q_n(E,F),</math>
Ondeonde os produtos soson fanse sobre tódolos divisores de ''n'', ou tódolos divisores de {{Math|2''n''}} tomados sobreque todonon divisores dedividen ''n'', ou todo divisores de 2ne <math>Q_n(x)</math>ue noné divideno n,-ésimo epolinomio ciclotómico.
Q
n
(
<math>Q_n(x)</math>
)
{\displaystyle Q_{n}(x)}
é o n-ésimo polinomio ciclotómico.<math>Q_n(x)</math>
:Por exemplo, <blockquote><math>a^6-b^6= \overline Q_1(a,b)\overline Q_2(a,b)\overline Q_3(a,b)\overline Q_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),</math></blockquote><blockquote><math>a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^2),</math></blockquote>aa que o divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, e o divisores de 12 que non divide a 6 son 4 e 12.
: <math>a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^2),</math>
== Polinomios ==
Xa que o divisores de 6 é 1, 2, 3, 6, e o divisores de 12 que non divide 6 é 4 e 12.
ParaNos polinomios, a factorización évai fortemente relacionadaligada co problema de solucionar [[Ecuación|ecuacións alxébricas ]]. Unha ecuación alxébrica ten a forma ▼
== polinomios ==
▲Para polinomios, factorización é fortemente relacionada co problema de solucionar ecuacións alxébricas. Unha ecuación alxébrica ten a forma
: <math>P(x)=0,</math>
onde
Onde
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n,</math>
Ondeonde P({{Math|''P''(''x'')}}) é un polinomio en ''x'', tal que <math>a_0\ne 0.</math>. A solución desta ecuación, ou [[Raíz (homónimos)|raíz]] do polinomio, é un valor ''r'' de ''x'' tal que
<math>a_0\ne 0.</math>
0
<math>a_0\ne 0.</math>
<math>a_0\ne 0.</math>.
{\displaystyle Un_{0}\neq 0.}
Unha solución desta ecuación (raíz chamada tamén do polinomio) é un valor r de x tal aquilo<math>a_0\ne 0.</math>
: <math>P(r)=0.</math>
: <math>P(x)=Q(x)R(x)</math>
Éé ununha factorización de ''P'' como produto de dous polinomios, entón as raíces de ''P'' éson a unión das raíces de ''Q'' e mais as raíces de ''R''. Así, solucionandosolucionar ''P'' é reducidoredúcese aos problemas, máis sinxelos, de solucionar ''Q'' e ''R''.
Inversamente, o factor teorema afirma que, se r é unha raíz de P, entón P pode ser factorizado cando
: <math>P(x)=(x-r)Q(x),</math>
OndeInversamente, o [[teorema do factor]] afirma que, se ''r'' é unha raíz de ''P'', entón ''P'' pode ser escribir da forma <blockquote><math>P(x)=(x-r)Q(x),</math></blockquote>onde {{Math|''Q''(''x'')}}) é o cociente de Euclideanda división euclidiana de P po{{Math|''xP'' – ''r''}} xpor {{Math|''x'' – ''r''}} r.
Se os coeficientes de P éson números reais ou complexos, o [[Teoremateorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra]] afirma que P ten unha raíz [[Número real|real]] ou [[Número complexo|complexa.]] UtilizandoEntón, uilizando o factor teorema recursivelydo factor recursivamente, resulta aquiloen
: <math>P(x)=a_0(x-r_1)\cdots (x-r_n),</math>
:
O<math>r_1, \ldots, r_n</math>}
Este factorización pode producir un resultado que é máis grande que o orixinal polinomio (tipicamente cando hai moitos [[Números primos entre si|coprime]] denominadores), mais, mesmo cando isto é o caso, a parte primitiva é xeralmente máis fácil de manipular para máis afastado factorización.
=== Utilizando o factor teorema do factor ===
{{Artigo principal|Teorema do factor}}O [[teorema do factor]] expón que, se ''r'' é raíz dun [[polinomio]]
: <math>P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,</math>
O factor teorema do factor mostra que un ten un factorización
: <math>P(x)=(qx-p)Q(x),</math>
: <math>\frac pq \in \{1, 2, 3, 6, \frac 12, \frac 32\}.</math>
Un directo computación mostra que <math>\frac 32</math>É unha raíz, e que hai non outra raíz racional. Aplicando o factor teorema do factor lidera finalmente ao factorización
<math>2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x -3)(x^2 -2x + 2).</math>
| 