Diferenzas entre revisións de «Factorización»

m
Etiqueta: edición de código 2017
Etiqueta: edición de código 2017
 
=== Métodos xerais ===
Os métodos que son descritos abaixo aplicaraplicánse a calquera expresión que é unha suma, ou ben pode ser transformado a unhanunha suma. Por tanto, acotío son máisusadas a miúdo aplicado acos [[Polinomio|polinomiospolinomio]]s, mesmo tamén se poden aplicados taménaplicar cando os termos da suma non éson monomiaismonomios, senón que éson produto de variábeis e constantes.
 
==== Factor común ====
PodeNo ocorrercaso quede seren produtos todos os termos dunha suma son produtos e que algúns factores sonsexan comúns a todos ostódolos termos. Neste caso, pola [[Distributividade|distributivadadepropiedade distributiva]] deixapódese factoringfactorizar fóra deste factor común. Se hai moitos tales factores comúns, vale para dividir fóra do máis grande taleste factor común. Tamén, sede haihaber enteirocoeficientes coeficientesenteiros, unpódese pode factorsacar fóra doo [[Máximo común divisor|máis grandemáximo común divisor]] destes coeficientes.
 
Por exemplo,
: <math>6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),</math>
 
DesdeXa que 2 é o máis grandemáximo común divisor de 6, 8, e 10, e <math>x^3y^2</math>divide todosdivide ostódolos termos.
==== Agrupación ====
AgrupandoAs veces, ao agruparen os termos podenfaise deixarposíbel utilizaraplicar outros métodos para conseguir un factorizaciónfactorizar.
Por exemplo, apara factorfactorizar
 
Por exemplo, a factor
 
: <math>4x^2+20x+3xy+15y, </math>
 
Un podepódese remarcar que os dous primeiros dous termos teñencomparten uno factor común {{Math|''x,''}} e os dous últimos dous termos teñen, o factor común {{Math|''y''}}. Así
 
: <math>4x^2+20x+3xy+15y = (4x^2+20x)+(3xy+15) = 4x(x+5) + 3y(x+5)</math>
Entón unha inspección sin{{Math|''x'' + 5}}ela mostra o factor común x {{Math|''x'' + 5}}, liderando ao factorización
 
Entón, unhaagora inspecciónos sin{{Math|''x''dous +termos 5}}elaactuais mostracomparten o factor común x {{Math|''x'' + 5}}, liderandoque aoleva factorizacióná factorización
En xeral, estes traballos para sumas de 4 termos que foron obtido como o produto de dous binomiais. A pesar de que non frecuentemente, isto pode traballar tamén para exemplos máis complicados.
 
: <math>4x^2+20x+3xy+15y = (x+5)(4x+3y)</math>
==== Engadindo e restando termos ====
Ás veces, algunha agrupación de termo deixa aparecer unha parte dun patrón recoñecíbel. É entón útil de engadir termos para completar o patrón, e restarlles para non mudando o valor da expresión.
 
En xeral, estesisto traballosfunciona para sumas de 4 termos que foron obtidoobtidas como o produto de dous binomiais. A pesar de que non ser frecuentemente, istoeste pode traballarmétodo tamén se pode empregar para exemplos máis complicados.
Un uso típico disto é o completando o método cadrado para conseguir a fórmula cadrática.
 
==== EngadindoSumando e restando termos ====
Outro exemplo é o factorización de
Ás veces, algunha agrupaciónagrupacións de termotermos deixa aparecer unha parte dun patrón recoñecíbel. ÉEntón entóné útil de engadir termos para completar o patrón, e restarllesrestarllos para non mudandomudaren o valor da expresión.
 
<math>x^4 + 1.</math>
Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución de [[ecuación de segundo grado]].
 
SeOutro exemplo é a factorización de <math>x^4 + 1</math>, que un presenta a [[Unidade imaxinaria|raíz cadrada]] [[Número complexo|imaxinaria]] de –1, xeralmente denotadodenotadoc como i, entón un tentense unha diferenza de termos<math>x^4 + 1.</math>
 
: <math>x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).</math>
 
Con todo, unpódese tamén pode querer un factorización con coeficientes de [[Número real|númeronúmeros real.reais]]. Por engadirSumando e restando <math>2x^2,</math> e agrupación tres termos xuntos, un pode recoñecer a termo dun binomial
2
<math>2x^2,</math>
e agrupación tres termos xuntos, un pode recoñecer a termo dun binomial:<math>2x^2,</math>
 
: <math>x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2= (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2 +1\right)\left(x^2-x\sqrt2 +1\right).</math>
 
Sumar e restar <math>2x^2,</math> tamén leva á factorización
 
: <math>x^4+1=\left(x^2+x\sqrt{-2} -1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2} -1\right).</math>
 
EstesEstas factorizacións traballa non só traballan sobre os números complexos, mais tamén sobre calquera [[Corpo (álxebra)|corpo]], onde calquera 1, 2 ou –2 é unsexan termocadrados. Nun corpo finito, o produto de dous termos non-as termoscadrados ée un termo; cadrado, isto implica que o [[polinomio]] <math>x^4 + 1</math>, que é irredutíbel sobre o enteiros, é reducíbel [[Aritmética modular|modulo]] calquera [[número primo]]. Por exemplo
que é irredutíbel sobre o enteiros, é reducíbel [[Aritmética modular|modulo]] cada [[Número primo|número primo.]]<math>x^4 + 1,</math> Por exemplo
 
: <math>x^4 + 1 \equiv (x+1)^4 \pmod 2;</math>
319

edicións