Diferenzas entre revisións de «Factorización»

m
Etiqueta: edición de código 2017
 
== Expresións ==
ManipulandoA asmanipulación de expresións éestá ona fundamentobase deda [[Álxebra|álxebra.]], e a factorización Éé un dos métodos máis importantes para manipulación de expresión para varias razóns. SePor unexemplo, pod{{Math|1=''E'' = 0}}ao pórpoñer unha [[ecuación]] nunna forma factorizada {{Math|1=''E''⋅''F'' = 0}}actorizadoforma E⋅F = 0, entón o problemaresolución dedo solucionarproblema rupturasdivídese anos dous independenteproblemas independentes (ea xeralmentemiúdo tamén máis fácilsinxelos) problemas {{Math|1=''E'' = 0}} e {{Math|1=''F'' = 0}}. Cando unha unha expresión pode ser factoredfactorizado, os factores son a miúdo moito máis sinxelo, e poder,poden porofrecer tanto, ofertaunha algunhamellor ideavisión nodo problema. Por exemplo,
 
: <math>x^3-ax^2-bx^2-cx^2+ abx+acx+bcx-abc</math>
 
Tendoque ten 16 multiplicacións, 4 subtraccións e 3 adicións, pode ser factorizadoáfactorizada moitaá expresión máis sinxela
 
: <math>(x-a)(x-b)(x-c),</math>
 
Conque únicosó ten dúas multiplicacións e tres subtraccións. Ademais, o factorizado a forma factorizada inmediatamenteamosa con claridade as [[Raíz (homónimos)|raíces]] ''x = una,b,c'' do polinomio en ''x'' representourepresentado por estasesta expresiónsexpresión.
 
Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, eou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, <math>x^{997}-1</math>pode ser factorizado aen dous irreducívelfactores factoresirredutíbeis: <math>x-1</math> e <math>x^{996}+x^{995}+\cdots+x^2+x+1</math> .
 
A solución de ecuación alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, fe feito, o [[Teorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra]] pode ser enunciado cun caracter de factorización: todo polinomio {{Math|''x''}} de grao {{Math|''n''}} cos coeficientes complexos factoriza en {{Math|''n''}} factores lineais <math>x-a_i,</math>para {{Math|1=''i'' = 1, ..., ''n''}}, onde os {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} son as raíces do [[Polinomio|polinomio.]] Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces ''n-''ésimas), polo [[teorema de Abel–Ruffini]]. Na maioría destes casos, o único que se pode facer calcular unha [[aproximación]] da raíz con algún algoritmo para encontrar raíz.
Varios métodos foron desenvolvidos para atopar factorizacións; algúns son descritos abaixo.
 
=== Historia deda factorización de expresións ===
Solucionando alxébrico as ecuacións poden ser vistas como problema de factorización. De feito, o [[Teorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra]] pode ser exposto cando segue. Cada polinomio e{{Math|''n''}} x de grao {{Math|''n''}} cos coef<math>x-a_i,</math>cientes complexos poden ser factorizizado a n factores lineais
O uso sistemático de alxébrico manipulacións alxébricas para simplificar expresións (máis especificamente [[Ecuación|ecuacións]])) poderexístrase seraté datadoséculo a 9.º séculoIX, con [[al-Khwarizmi]] co libro ''O[[Libro CompendiousCompendio Libro ensobre Cálculo por ConclusiónRestauración e EquilibrandoBalanceamento]]'', ode cal é[[Al-Khwarizmi]], titulado con dous tales tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar [[Ecuaciónecuacións de segundo grao|quadratic ecuaciónscadráticas]], factoringa o métodofactorización non foise utilizadoutilizou antesaté dea Harriotpublicación en o1631 do traballo publicadode en[[Thomas 1631Harriot]], dez anos após a súa morte.
<math>x-a_i,</math>
para i = 1, ..., n, onde o ais é as raíces do [[Polinomio|polinomio.]]<math>x-a_i,</math> Aínda que a estrutura do factorización é sabido nestes casos, o
ais xeralmente non pode ser computado en termos de radicais (nth raíces), polo Abel–Ruffini teorema. Na maioría de casos, o máis que poden ser feito está computando valores das raíces cun algoritmo que atopa raíz.
 
=== Historia de factorización de expresións ===
O uso sistemático de alxébrico manipulacións para simplificar expresións (máis especificamente [[Ecuación|ecuacións]])) pode ser datado a 9.º século, con [[al-Khwarizmi]] libro ''O Compendious Libro en Cálculo por Conclusión e Equilibrando'', o cal é titulado con dous tales tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar [[Ecuación de segundo grao|quadratic ecuacións]], factoring o método non foi utilizado antes de Harriot o traballo publicado en 1631, dez anos após a súa morte.
 
No seu libro ''Artis Analyticae Praxis anuncioad Aequationes alxébricoasAlgebraicas Resolvendas'', Harriot debuxou, nunha primeira sección, mesastáboas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nhanunha segunda seciónsección, montou a ecuación {{Math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca'' = + ''bc''}} , e mostrou que isto emparella a forma deda multiplicación, anteriormentexa proporcionabaproporcionada, dandosendo oa factorización {{Math|(''a'' − ''b'')(''a'' + ''c'')}} .
 
=== Métodos xerais ===
Os métodos que son descritos abaixo aplicar a calquera expresión que é unha suma, ou pode ser transformado a unha suma. Por tanto, son máis a miúdo aplicado a [[Polinomio|polinomios]], mesmo se poden aplicados tamén cando os termos da suma non é monomiais, que é produto de variábeis e constantsconstantes
 
==== Factor común ====
Pode ocorrer que todos os termos dunha suma son produtos e que algúns factores son comúns a todos os termos. Neste caso, opola [[Distributividade|distributivedistributivadade]] a lei deixa factoring fóra deste factor común. Se hai moitos tales factores comúns, vale para dividir fóra do máis grande tal factor común. Tamén, se hai enteiro coeficientes, un pode factor fóra do [[Máximo común divisor|máis grande común divisor]] destes coeficientes.
 
Por exemplo,
 
==== Engadindo e restando termos ====
Ás veces, algunha agrupación de termo deixa aparecer unha parte dun patrón Recoñecíbelrecoñecíbel. É entón útil de engadir termos para completar o patrón, e restarlles para non mudando o valor da expresión.
 
Un uso típico disto é o completando o método cadrado para conseguir quadratica fórmula cadrática.
 
Outro eemploexemplo é o factorización de
<math>x^4 + 1.</math>
Se un presenta a [[Unidade imaxinaria|raíz cadrada]] [[Número complexo|imaxinaria]] de –1, xeralmente denotado i, entón un ten unha diferenza de prazastermos<math>x^4 + 1.</math>
 
: <math>x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).</math>
e agrupación tres termos xuntos, un pode recoñecer a prazatermo dun binomial:<math>2x^2,</math>
 
: <math>x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2= (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2 +1\right)\left(x^2-x\sqrt2 +1\right).</math>
: <math>x^4+1=\left(x^2+x\sqrt{-2} -1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2} -1\right).</math>
 
Estes factorizacións traballa non só sobre os números complexos, mais tamén sobre calquera [[Corpo (álxebra)|corpo]], onde calquera 1, 2 ou –2 é unhaun prazatermo. Nun corpo finito, o produto de dous non-as prazastermos é unhaun prazatermo; isto implica que o [[polinomio]]
<math>x^4 + 1,</math>Calque é irreducívelirredutíbel sobre o enteiros, é reducívelreducíbel [[Aritmética modular|modulo]] cada [[Número primo|número primo.]]<math>x^4 + 1,</math> Por exemplo
 
: <math>x^4 + 1 \equiv (x+1)^4 \pmod 2;</math>
: <math>x^4 + 1 \equiv (x^2+x-1)(x^2-x-1) \pmod 3,\qquad</math>xa sinceque <math>1^2 \equiv -2 \pmod 3;</math>
: <math>x^4 + 1 \equiv (x^2+2)(x^2-2) \pmod 5,\qquad</math> sincexa que <math>2^2 \equiv -1 \pmod 5;</math>
: <math>x^4 + 1 \equiv (x^2+3x+1)(x^2-3x+1) \pmod 7,\qquad</math> sincexa que <math>3^2 \equiv 2 \pmod 7.</math>
 
=== Patróns recoñecíbeis ===
Moitas [[Identidade (matemáticas)|identidades]] proporcionan unha igualdade entre unha suma e un produto. O por riba dos métodos poden ser utilizados para deixar o lado de suma dalgunha identidade aparece nunha expresión, os cales por tanto poden ser substituídos por un produto.
 
Abaixo é identidades cuxos lados esquerdos son xeralmente utilizado como patróns (isto significa que as variábeis E e F que aparecen nestas identidades poden representar calquera subexpression da expresión que ten que ser factorizedfactorizada.
 
*; Diferenza de dúas prazas
 
*; Diferenza de dúasdous prazascadrados
:: <math> E^2 - F^2 = (E+F)(E-F)</math>
: Por exemplo,
:: <math> E^3 - F^3 = (E - F)(E^2 + EF + F^2)</math>
 
*; Diferenza de dousdúas cuartospotencias poderescuartas
 
:: <math> E^4 - F^4 = (E^2 + F^2)(E^2 - F^2) = (E^2 + F^2)(E + F)(E - F)</math>
 
*; Diferenza/de suma de dousdúas nthpotencias poderesn-ésimas
 
: Nas identidades seguintes, os factores a miúdo poden ser máis afastados factorized:
:: Se o expoñente é un poder de dous entón a expresión pode non, en xeral, ser factorizado sen presentar números complexos (se E e F conter [[Número complexo|números complexos]], isto pode ser non o caso). S n te''n'' un estraño divisor, que é se n = {{Math|1=''n'' = ''pq''}} con estraño, un pode utilizar a órmula de preceder (en “Suma, expoñente estraño”) aplicou a <math>(E^q)^p+(F^q)^p.</math>
 
*; Trinomiais Ee fórmulas cúbicas
 
::: <math>
</math>
 
*; Binomial Expansións binomiais
 
[[Ficheiro:Binomial_theorem_visualisation.svg|miniatura|300x300px|Visualisación De binomial expansión até o 4.º poder]]
 
: O teorema do binomial teorema patróns de subministracións que facilmente poden ser recoñecido desde o enteiros que aparecen neles
: En grao baixo:
:: <math> a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2</math>
\end{align}</math>
 
O [[Función trigonométrica|cosinescoseno]] que aparece nestes factorizacións é [[Número alxébrico|alxébrico números]], e pode ser expresado en termos de radicais (isto é posíbel porque o seu Galoisgrupo ode grupoGalois é cycliccíclico); con todo, estas expresións [[Raíz (matemáticas)|radicais]] son demasiado complicadas para ser utilizadoutilizadas, excepto valores baixos de n. Por exemplo
 
: <math> a^4 + b^4 = (a^2 - \sqrt 2 ab + b^2)(a^2 + \sqrt 2 ab + b^2).</math>
:
 
A miúdo un quere un factorización con coeficientes racionais. Tal factorización implica cyclotomic polinomios ciclotómicos. Para exresarexpresar racionalfactorizacións factorzatiosracional de sumas e diferenzas ou poderes, ecesitamos u otatio para a homoeneizaciónhomoxeneización d polinomio: se <math>P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,</math>a súa homoxeneización é o [[Polinomio|bivariate polinomio]]
 
P
)
{\displaystyle Q_{n}(x)}
Éé o nth cyclotomicn-ésimo polinomio ciclotómico.<math>Q_n(x)</math>
 
: <math>a^6-b^6= \overline Q_1(a,b)\overline Q_2(a,b)\overline Q_3(a,b)\overline Q_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),</math>
 
== polinomios ==
Para polinomios, factorización é fortemente relacionadorelacionada co problema de solucionar alxébricoecuacións ecuaciónsalxébricas. UnUnha alxébricoecuación a ecuaciónalxébrica ten a forma
 
: <math>P(x)=0,</math>
319

edicións