|
polinomio factorización Tamén Foi estudado para séculos. En elemental álxebra, factoring un polinomio reduce o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. polinomios Con coeficientes no enteiros ou nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] posúe o único factorización propiedade, unha versión do fundamental teorema de arithmeticaritmética cos números primos substituíron por irreducível polinomios. En particular, un [[Polinomio|univariate polinomio]] cos coeficientes [[Número complexo|complexos]] admite un único (até pedir) factorización a [[Polinomio|lineal polinomios]]: isto é unha versión do [[Teorema fundamental da álxebra|fundamental teorema de álxebra.]] Neste caso, o factorización pode ser feito con algoritmos que atopan raíz. O caso de polinomios con enteiro os coeficientes é fundamentais para computador álxebra. Hai [[Algoritmo|algoritmos]] de computador eficiente para informática (completo) factorizacións dentro do anel de polinomios con coeficientes de número racional (ve factorización de polinomios).
Un [[Anel conmutativo|commutative]] o anel que posúe o único factorización a propiedade é chamada un único factorización dominio. Hai [[Número|sistemas de número]], como aneis seguros de alxébrico enteiros, os cales non son únicos factorización dominios. Con todo, aneis de alxébrico enteiros satisfacer a propiedade máis débil de Dedekind dominios: factor de ideais uniquely a ideais primos.
== Enteiros ==
Polo [[Teoremateorema fundamental da aritmética|fundamental teorema de arithmetic]], cadatodo enteiro máis grandemaior que 1 ten ununha únicoúnica (atéa omenos encargocambios dosda factoresorde) factorización aen [[Número primo|números primos]], os calesque son aquelesos enteiros que non poden ser máisfactorizados afastado factorizado aono produto de [[Número enteiro|enteiros]] máis grandemaiores que un1.
Para computarcalcular oa factorización dun enteiro ''n'', unprecísase necesita undun [[algoritmo]] para atopar un divisor ''q'' de ''n'' ou decidindo que ''n'' é primo, e polo tanto non existe ''q''. CandoDe talatoparen o divisor é atopado''q'', aobteríanse dous factores de ''n'', aplicació{{Math|''n'' / ''q''}} repetida deste algoritmo aos factorese ''q'', enos nque, /ao qaplicárenlles dáeste finalmentealgoritmo orepetidamente, completoconséguese a factorización completa de n.<ref>{{Cita libro|ISBN=978-0198531715}}</ref>
Para atopar un divisor ''q'' de ''n'', se ten algún, bastaabonda paracon probar todos os valores de ''q'' tal aquiloque {{Math|1 < q}} e q2 {{Math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}} n. DeChega feito,con probar só con estes porque se ''r'' é un diviso{{Math|''r''}} de {{Math|''r''<sup>2</sup> > ''n''}} tal a{{Math|1=que''q'' = ''n'' / ''r''}}uel r2 {{Math|''r''<sup>2</sup> > ''n''}} , entón {{Math|1=''q'' = ''n'' / ''r''}}, entón q = n / r é un divisor de ''n'' tal aquel q2que {{Math|''q''<sup>2</sup> ≤ ''n''}}, n.e xa tería sido atopado
SeAo u{{Math|1=''r''procuraren = ''n'' / ''q''}} p{{Math|1=''r'' = ''n'' / ''q''}}oba os valores de qdivisores en encargoorde crecente, o primeiro divisor que ésexa atopado éten que ser necesariamente un número primo, e o ''cofactor'' r = n / q non pode ter calqueraningún divisor máis pequenomenor que ''q''. Para conseguirconseguiren o completoa factorización, bastacompleto, asíabondará paracon continuar o algoritmo porna buscarprocura undun divisor de ''r'' que nonnin é máis pequeno que ''q'', enin noné máis grande que ''√r''.
HaiNon é ningunha necesidade depreciso probar todos ostódolos valores de ''q'' para aplicaraplicaren o método., Enpois principio,chega basta paracon probar únicocon primotodos os primos divisorsdivisores. EstasMais necesidadesisto dexa terprecisa unhadunha mesatáboa de númerosnúmero primos quecomo, podenpor serexemplo, xeradoa porxerada exemplomediante coa sieve[[criba de EratosthenesEratóstenes]]. Cando oComo método de factorización cervasfai esencialmente o mesmo traballo como oa sievecriba de Eratosthenes, éen xeralmentexeral é máis eficiente de probar para uncomo divisor só aqueles números para o calque non é inmediatamente aclararevidente se son primos ou non. Tipicamente, un pode procederprocedendo por probar con 2, 3, 5, e os números > maiores a 5, de quenco último díxito é 1, 3, 7, 9 e acoa suma dos díxitos non é un múltiplo de 3.
EstesEste traballosmétodo de métodofunciona ben para factoringa pequenofactorización de números enteiros pequenos, mais é ineficiente para máis grande enteiros. Por exemplo, [[Pierre de Fermat]] eranon incapazfoi quen de descubrir que o 6.ºsexto [[Númeronúmero de Fermat|Fermat número]]
: <math>1 + 2^{2^5} = 1 + 2^{32} = 4\,294\,967\,297</math>
Nonnon é un número primo. De feito, aplicandoa o por ribaaplicación do método requiriríaanterior precisaría máis que 7004100000000000000♠1000010000 divisións, paraao unter o número que ten 10 [[Cifra|díxitos decimais]].
haiNa máisactualidade eficiente factoringcoñécense algoritmos. Conde todofactorización ficanmáis relativamente ineficienteeficientes, cando,mais cofican estadorelativamente presente da arteineficiente, unao podetentar non factorize, mesmo cos computadores máis potentes,factorizar un número de 500 díxitos decimais, que é o produto de dous randomlyprimos númerosescollidos primosao escollidoschou, incluso cos ordenadores máis potentes. Isto é o que asegura a seguranza do [[RSA|RSAsistema cryptosystemcriptográfico RSA]], o calque é amplamente utilizado para comunicación desegura na [[internet]] segura.
=== Exemplo ===
ParaFarase un exemplo da factorización de factori{{Math|1=''n'' = 1386}}g n = 1386 aen alboresprimos:
* I{{Math|1=''n'' = 2 · 693}}icio conComézase divisióndividindo por 2: o número é mesmopar, e {{Math|1=''n'' = 2 · 693}}. ContinúaContinúase con 693, e 2 como primeiro divisor candidato.
* {{Math|1=693 = 3 · 231}} é estrañoimpar (2 {{Math|1=''n'' = 2 · 3 · 231}}onnon é un divisor), mais é un múltiplo de 3: un ten {{Math|1=693 = 3 · 231}} e {{Math|1=''n'' = 2 · 3 · 231}}. ContinúaContinúase con 231, e 3 como primeiro divisor candidato.
* {{Math|1=231 = 3 · 77}} , e é tamétamén un múltiplo de 3: un ten {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 77}} un, múltiplopor de 3: un ten 231 = 3isto {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 77}}, e por isto n = 2 · 32 · 77. ContinúaContinúase con 77, e 3 como primeiro divisor candidato.
* 77 non é un múltiplo de 3, xa queporque a suma dos seus díxitos é 14, que non un múltiplo de 3. ÉTampouco tamén noné un múltiplo de 5, porqueao non ser o seu último díxito é 7. O próximo estraño divisor paraa ser probadoprobaren é 7. UTemos que {{Math|1=''n''77 = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}} ten 77 = 7 · 11, e por isto n =entón {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}} · 32 {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}} 11. Isto mostraamosa que 7 é alborprimo (cousa fácil de probar directamente). ContinúaContinúase con 11, e 7 como primeiro divisor candidato.
* Como 72 {{Math|7<sup>2</sup> > 11}}, un acabou. Asíremata; 11 é primo, e o primoa factorización en primos é {{Math|1=''n'' = 2 · 3<sup>2</sup> · 7 · 11}}.
== Expresións ==
<math>x-a_i,</math>
para i = 1, ..., n, onde o ais é as raíces do [[Polinomio|polinomio.]]<math>x-a_i,</math><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Klein|1925}}</ref> Aínda que a estrutura do factorización é sabido nestes casos, o
ais xeralmente non pode ser computado en termos de radicais (nth raíces), polo Abel–Ruffini teorema. Na maioría de casos, o máis que poden ser feito está computando valores das raíces cun algoritmo que atopa raíz.
=== Historia de factorización de expresións ===
O uso sistemático de alxébrico manipulacións para simplificar expresións (máis especificamente [[Ecuación|ecuacións]])) pode ser datado a 9.º século, con [[al-Khwarizmi]] libro ''O Compendious Libro en Cálculo por Conclusión e Equilibrando'', o cal é titulado con dous tales tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar [[Ecuación de segundo grao|quadratic ecuacións]], factoring o método non foi utilizado antes de Harriot o traballo publicado en 1631, dez anos após a súa morte.<ref>In {{Obra citada|first=Vera|last=Sanford|title=A Short History of Mathematics|year=2008|origyear=1930|publisher=Read Books|isbn=9781409727101}}, the author notes “In view of the present emphasis given to the solution of quadratic equations by factoring, it is interesting to note that this method was not used until Harriot’s work of 1631".</ref>
No seu libro ''Artis Analyticae Praxis anuncio Aequationes alxébricoas Resolvendas'', Harriot debuxou, nunha primeira sección, mesas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nha segunda seción, montou a ecuación {{Math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca'' = + ''bc''}} , e mostrou que isto emparella a forma de multiplicación anteriormente proporcionaba, dando o factorización{{Math|(''a'' − ''b'')(''a'' + ''c'')}} .<ref>[https://books.google.com/books?id=771CAAAAcAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Harriot], [https://books.google.com/books?id=771CAAAAcAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false ''Artis Analyticae Praxis anuncio Aequationes Algebraicas''] Resolvendas[1]</ref>
=== Métodos xerais ===
Pode ocorrer que todos os termos dunha suma son produtos e que algúns factores son comúns a todos os termos. Neste caso, o [[Distributividade|distributive]] a lei deixa factoring fóra deste factor común. Se hai moitos tales factores comúns, vale para dividir fóra do máis grande tal factor común. Tamén, se hai enteiro coeficientes, un pode factor fóra do [[Máximo común divisor|máis grande común divisor]] destes coeficientes.
Por exemplo,
Por exemplo,<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Fite|1921|p=19}}</ref>
: <math>6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),</math>
Moitas [[Identidade (matemáticas)|identidades]] proporcionan unha igualdade entre unha suma e un produto. O por riba dos métodos poden ser utilizados para deixar o lado de suma dalgunha identidade aparece nunha expresión, os cales por tanto poden ser substituídos por un produto.
Abaixo é identidades cuxos lados esquerdos son xeralmente utilizado como patróns (isto significa que as variábeis E e F que aparecen nestas identidades poden representar calquera subexpression da expresión que ten que ser factorized.<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Selby|1970|p=101}}</ref>
*; Diferenza de dúas prazas
Para computar estes real ou complexo factorizacións, un ten que saber as raíces do polinomio. En xeral, non poden ser computados exactamente, e único approximative os valores das raíces poden ser obtidos. Ve algoritmo que atopa Raíz para un resumo dos [[Algoritmo|algoritmos]] eficientes numerosos que foron deseñado para este propósito.
A maioría de alxébrico ecuacións que son atopadas na práctica ha [[Número enteiro|enteiro]] ou coeficientes [[Número racional|racionais]], e un pode querer un factorización con factores da mesma clase. O [[Teorema fundamental da aritmética|fundamental teorema de arithmeticaritmética]] pode ser xeneralizado a este caso. Aquilo é, polinomios con enteiro ou os coeficientes racionais teñen o único factorización propiedade. Máis precisamente, cada polinomio cos coeficientes racionais poden ser factorizado nun produto
: <math>P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),</math>
.
{\displaystyle Un_{n}.<math>\frac pq</math><math>a_0,</math>}
Por tanto hai un número finito de posibilidades para p e q, os cales poden ser sistematicamente examinou.<math>a_n.</math><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Dickson|1922|p=27}}</ref>
Por exemplo, se o polinomio
É non-negativo. Doutro xeito, o polinomio cadrático non pode ser factorizadoa non-factores reais constantes.
O quadratic a fórmula é válida cando os coeficientes pertencen a calquera corpo de característico diferente desde dous, e, en particular, para coeficientes nun [[Corpo (álxebra)|corpo]] finito cun número estraño de elementos.<ref>Nun campo de característica 2, un ten 2 = 0, e a fórmula produce unha división por cero.</ref>
hai tamén fórmulas para raíces de cúbico e quartic polinomios, os cales son, en xeral, tamén complicado para uso práctico. O Abel–Ruffini teorema mostra que hai non fórmulas de raíz xeral en termos de radicais para polinomios de grao cinco ou máis alto.
| 