Regra de Cramer: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
mSen resumo de edición Etiqueta: edición de código 2017 |
mSen resumo de edición |
||
Liña 33:
A proba da regra de Cramer usa só dúas propiedades dos determinantes: linealidade con respecto a calquera columna dada (tomando para aquela columna unha combinación lineal de vectores columna produce como determinante a [[Combinación linear|combinación lineal]] correspondente dos seu determinants), e o feito que o determinante é cero cando dúas columnas son iguais (o cal ven implicado pola propiedade básica que o signo do determinante cambia ao cambiar dúas columnas).
Fixamos o índice ''j'' dunha columna. A linealidade implica que se soamente consideramos a columna ''j'' como variábel (fixando o resto de xeito arbitrario), temos unha función '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' (supoñendo que os elementos da matriz tamén están en '''R''') que ven dada por unha matriz, unha fila e ''n'' columnas, que actúa na columna ''j''. De feito, isto é precisamente o que fai a [[Expansión de Laplace|expansión de Laplace]], escribindo det(''A'') = ''C''<sub>1</sub>''a''<sub>1,''j''</sub> + ... + ''C<sub>n</sub>a<sub>n,j</sub>'' para certos coeficientes ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C<sub>n</sub>'' que dependen nas columnas de A que non son a columna ''j'' (a expresión exacta destes [[Menor (matriz)|cofactores]] non importa agora). Este valor det(''A'') é o resultado de aplicar a matriz fila ''L''<sub>(''j'')</sub> = (''C''<sub>1</sub> ''C''<sub>2</sub> ... ''C<sub>n</sub>'') á columna ''j'' de ''A''. Se ''L''<sub>(''j'')</sub> se aplica a calquera outra columna ''k'' de ''A'', o resultado é o determinante da matriz que se obtén ao remplazar a columna ''j'' pola columna ''k'', polo que o determinante é 0 (ao ter dúas columnas iguais).
Agora consideramos un sistema lineal de ''n'' ecuacións con ''n'' incógnitas <math>x_{1},\ldots ,x_{n}</math> cuxa matriz de coeficientes é ''A'', cun determinante non nulo:<blockquote><math>\begin{matrix}
Liña 40:
\vdots &\vdots &\vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.
\end{matrix}</math></blockquote>Ao combinar estas ecuación, tomando ''C<sub>i</sub>'' a ecuación ''i''-ésima, entón o coeficiente de x<sub>j</sub> convértese en ''C''<sub>1</sub>''a''<sub>1, ''j''</sub> + ... + ''C<sub>n</sub>a<sub>n,j</sub>'' = det(''A''), mentres os outros coeficientes de todas as outras incógnitas
En efecto o que temos feito é o produto pola esquerda da ecuación matricial ''A'''''x''' = '''b''' por ''L''<sub>(''j'')</sub>. Dividindo por det(''A'') (que é diferente de 0), achamos a seguinte ecuación, que é necesaria para satisfacer o sistema:<blockquote><math>x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}</math></blockquote>Mais por construcción, o numerador é o determinante da matriz obtida de ''A'' ao remplazar a columna ''j'' por '''b''', polo que a expresión da regra de Cramer é condición necesaria para unha solución. O mesmo procedemento pódese repeter para todos os valores de ''j'' para achar os valores do resto de incógnitas. Deste xeito, o único punto que queda por probar é que estes valores posíbeis forman xuntos unha solución. Observamos que se a matriz ''A'' é invertíbel con inversa ''A''<sup>−1</sup>, temos que '''x''' = ''A''<sup>−1</sup>'''b''' é solución e, polo tanto, temos a existencia de solución.
O único punto que queda por probar é que estes valores posíbeis forman xuntos unha solución. Como se a matriz ''A'' é invertíbel con inversa ''A''<sup>−1</sup>, temos que '''x''' = ''A''<sup>−1</sup>'''b''' é solución e, polo tanto, temos a súa existencia. Para ver que é invertíbel cando det(''A'') é non nulo, consideramos a matriz ''M'' de ''n × n'' obtida apilando as matrices fila ''L''<sub>(''j'')</sub> unhas en riba doutras para ''j'' = 1, ..., ''n'' (isto dános a matriz adxunta de ''A''). Xa ensinamos que ''L''<sub>(''j'')</sub>''A'' = (0 ... 0 det(''A'') 0 ... 0) onde det(''A'') aparece na posición ''j'' de aquí segue que ''MA'' = det(''A'')''I<sub>n</sub>''. Logo,<blockquote><math>\frac {1}{\det(A)}M=A^{-1}</math></blockquote>rematando a proba.▼
▲
Para outras probas, ler [[#Outras probas|abaixo]].
Liña 51 ⟶ 53:
: <math>A\,\operatorname{adj}A = (\operatorname{adj}A)\,A=\operatorname{det}(A) I</math>
onde {{math|adj(''A'')}} denota á [[Matriz adxunta|matriz adxunta]] de ''A'', {{math|det(''A'')}} é o determinante e ''I'' é a [[Matriz identidade|matriz identidade]]. Se det(''A'') é invertíbel en ''R'', entón a [[Matriz inversa|matriz inversa]] de ''A'' é:
: <math>A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(A)} \operatorname{adj}(A).</math>
Liña 64 ⟶ 66:
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}
\end{matrix}</math></blockquote>pode considerarse como unha ecuación entre vectores<blockquote><math>x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.</math></blockquote>A área do paralelogramo determinada por <math>\binom {a_{11}}{a_{21}}</math>e <math>\binom {a_{12}}{a_{22}}</math>vén dada polo determinante do sistema de ecuación:<blockquote><math>\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}</math></blockquote>En xeral, cando hai máis variábeis e ecuacións, o determinante de ''n'' vectores de lonxitude ''n'' dará o volume do ''[[paralelepípedo]]'' determinado por devanditos vectores no [[Espazo euclidiano|espazo euclidiano]] ''n'' dimensional.
Polo tanto, a área do paralelogramo determinada por <math>x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}</math> e <math>{\binom {a_{12}}{a_{22}}}</math>ten que ser <math>x_{1}
Liña 119 ⟶ 121:
=== Ecuacións diferenciais ordinarias ===
A regra de Cramer úsase para achar solución xeral a unha [[Ecuación diferencial ordinaria#Ecuacións diferenciais lineares|ecuación diferencial lineal non homoxénea]] polo método de [[Variación de parámetros|variación de parámetros]].
==Otras porbas==
Liña 126 ⟶ 128:
Esta é unha reformulación da proba anterior en linguaxe abstracta.
Consideramos a aplicación <math>\vec{x}=(x_1,\ldots, x_n) \mapsto \frac{1}{\det A} (\det (A_1),\ldots, \det(A_n)),</math> onde <math>A_i</math> é a matriz <math>A</math> con <math>\vec{x}</math> substituíndo a <math>i</math>-ésima columna, como na regra de Cramer. Debido á linearidade do determinante en cada columna, esta aplicación é lineal e observamos que envía <math>i</math>-ésima columna de <math>A</math> ao <math>i</math>-ésima vector canónico<math>\vec{e}_i=(0,\ldots, 1, \ldots, 0) </math> (con 1
===Proba curta===
| |||