Regra de Cramer: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
mSen resumo de edición |
mSen resumo de edición Etiqueta: edición de código 2017 |
||
Liña 1:
En [[Álxebra lineal|álxebra lineral]], a '''regra de Cramer''' é unha fórmula explícita para a solución dun [[Sistema de ecuacións lineais|sistema de ecuacións lineais]] con tantas ecuacións como incógnitas, válido cando o sistema ten unha solución única. Expresa a solución en termos dos [[Determinante (matemáticas)|determinantes]] da [[Matriz (matemáticas)|matriz]] (cadrada) de coeficientes e das matrices que se obtiveron de ela substituíndo unha columna polo vector columna do lado dereito do sistema de ecuacións. É nomeado após [[Gabriel Cramer]] (1704–1752), quen publicou a regra para un número arbitrario de incógnitas en 1750{{Sfn|Cramer||||1750|p=656-659}}{{Sfn|Kosinski||||2001|p=310-312}}, a pesar de que [[Colin Maclaurin]] tamén publicou casos especiais da regra en 1748 (e posibelmente soubo de ela xa en 1729).
Liña 57 ⟶ 56:
Se ''R'' é un corpo (como o [[Corpo (álxebra)|corpo]] dos números reais), entón isto dá unha fórmula para o inverso de A, dado que det(A) ≠ 0. De feito, esta fó''r''mula traballará cando R é un [[anel conmutativo]], pola condición de que det(A) é unha [[Unidade (álxebra)|unidade.]] Se det(''A'') non é unha unidade, entón A non é invertíbel.
== Interpretación xeométrica ==
[[Ficheiro:Cramer.jpg|miniatura|563x563px|Interpretación xeométrica da regra de Cramer. As áreas do segundo e terceiro paralelogramos sombreados son iguais e a segunda é <math>x_1</math> veces a primeira. A partir desta igualidade deducimos a regra de Cramer.]]
A regra de Cramer ten unha interpretación xeométrica que pode considerarse incluso unha proba ou que simplemente dá unha visión sobre a súa natureza xeométrica. Estes argumentos xeométricos funcionan en xeral e non só no caso de dúas ecuacións con dúas incógnitas, como veremos aquí.
Dado o sistema de ecuacións<blockquote><math>\begin{matrix}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}
\end{matrix}</math></blockquote>pode considerarse como unha ecuación entre vectores<blockquote><math>x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.</math></blockquote>A área do paralelogramo determinada por <math>\binom {a_{11}}{a_{21}}</math>e <math>\binom {a_{12}}{a_{22}}</math>vén dada polo determinante do sistema de ecuación:<blockquote><math>\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}</math></blockquote>En xeral, cando hai máis variábeis e ecuacións, o determinante de ''n'' vectores de lonxitude ''n'' dará o volume do ''paralelepípedo'' determinado por devanditos vectores no [[Espazo euclidiano|espazo euclidiano]] ''n'' dimensional.
Polo tanto, a área do paralelogramo determinada por <math>x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}</math> e <math>{\binom {a_{12}}{a_{22}}}</math>ten que ser <math>x_{1}
</math>veces a área do primeiro xa que un dos costados foi multiplicado por devandito factor. Agora, este último paralelogramo, polo [[Principio de Cavalieri|principio de Cavalieri]], ten a mesma área que o paralelogramo determinado por <math>\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}</math> e <math>{\binom {a_{12}}{a_{22}}}</math>.
Ao igualar as áreas deste último e do segundo paralelogramo dá a ecuación
<math>\begin{vmatrix}
b_{1}&a_{12}\\
b_{2}&a_{22}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
a_{11}x_{1}&a_{12}\\
a_{21}x_{1}&a_{22}
\end{vmatrix}
=x_{1}\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}</math>
de onde deducimos a regra de Cramer.
== Aplicacións ==
Liña 85 ⟶ 113:
Entón, usando os [[Determinante (matemáticas)|determinantes]], podemos achar ''x'' e ''y'' coa regra de Cramer
: <math>x = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}d_1} & b_1 & c_1 \\ {\color{red}d_2} & b_2 & c_2 \\ {\color{red}d_3} & b_3 & c_3 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac {\begin{vmatrix} a_1 & {\color{red}d_1} & c_1 \\ a_2 & {\color{red}d_2} & c_2 \\ a_3 & {\color{red}d_3} & c_3 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}, \text{ and }z = \frac { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & {\color{red}d_1} \\ a_2 & b_2 & {\color{red}d_2} \\ a_3 & b_3 & {\color{red}d_3} \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} }.</math><!-- Traducir Differential geometry -->
=== Programación enteira ===
A regra de Cramer pode usarse para demostrar que un problema de [[Programación enteira|programación enteira]] cuxa matriz de restricción é [[Totalmente unimodular|totalmente unimodular]] (o determinante é 1 ou -1) e cuxo lado dereito é enteiro, ten solucións básicas enteiras. Isto fai que o programación enteira resulte máis fácil de resolver.
=== Ecuacións diferenciais ordinarias ===
A regra de Cramer úsase para achar solución xeral a unha ecuación diferencial lineal non homoxénea polo método de [[Variación de parámetros|variación de parámetros]].
==Otras porbas==
Liña 95 ⟶ 129:
===Proba curta===
Unha proba curta da regra de Cramer
:<math>X_1=\begin{bmatrix}
Liña 228 ⟶ 262:
* {{cite web|apelido=Cramer|nome=Gabriel|ano=1750|localización=Geneva|lingua=Francés|url=https://www.europeana.eu/resolve/record/03486/E71FE3799CEC1F8E2B76962513829D2E36B63015|editor=Europeana|páxina-web=|título=Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques|data-acceso=2012-05-18}}
*
*{{Cita libro|ISBN=978-0-89871-521-7|título=Accuracy and Stability of Numerical Algorithms|apelidos=Higham|nome=Nicholas J.|editorial=SIAM|ano=2002|ref=|edición=2ª}}
Liña 258 ⟶ 292:
|apelidos=Kosinski|data=2001|PMC=|revista=Mathematics Magazine|ISSN=|PMID=|número=}}
*{{Cita libro|apelido=Poole|nome=David|ISBN=978-1-285-98283-0|título=Linear Algebra: A Modern Introduction|editorial=Cengage Learning|ano=2014}}
*{{Cita publicación periódica | apelido = Robinson | nome = Stephen M. | título = A Short Proof of Cramer's Rule | publicación = Mathematics Magazine| volume = 43 | ano = 1970}}
*{{Cita libro|ISBN=978-0-387-48947-6|título=Applied Linear Algebra and Matrix Analysis|apelidos=Shores|nome=Thomas S.|editorial=Springer Science & Business Media|ano=2007}}
*{{Cita publicación periódica|volume=340|doi=10.1016/S0024-3795(01)00469-4|apelidos=Gong|nome=Zhiming|data=2002|título=A note on a generalized Cramer's rule|PMC=|revista=Linear Algebra and its Applications|ISSN=|PMID=|páxinas=|apelidos2=Aldeen|nome2=M.|apelidos3=Elsner|nome3=L.}}
| |||