Regra de Cramer: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
Traducindo o artigo Etiquetas: Eliminación de categorías Edición visual |
m →Proba Etiqueta: edición de código 2017 |
||
Liña 41:
\vdots &\vdots &\vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.
\end{matrix}</math></blockquote>Ao combinar estas ecuación, tomando ''C<sub>i</sub>'' a ecuación ''i''-ésima, entón o coeficiente de x<sub>j</sub> convértese en ''C''<sub>1</sub>''a''<sub>1, ''j''</sub> + ... + ''C<sub>n</sub>a<sub>n,j</sub>'' = det(''A''), mentres os outros coeficientes de todas as outras incógnitas torna 0: o lado esquerdo simplemente é det(''A'')''x<sub>j</sub>''. O lado dereito é ''C''<sub>1</sub>''b''<sub>1</sub> + ... + ''C<sub>n</sub>b<sub>n</sub>'', onde ''L''<sub>(''j'')</sub> é aplicado ao vector columna '''b''' do lado dereito ''b<sub>i</sub>''. En efecto o que temos feito é o
O único punto que queda por probar é que estes valores posíbeis forman xuntos unha solución. Como se a matriz ''A'' é invertible con inversa ''A''<sup>−1</sup>, temos que '''x''' = ''A''<sup>−1</sup>'''b''' é solución e, polo tanto, temos a súa existencia. Para ver que é invertible cando det(''A'') é non nulo, consideramos a matriz ''M'' de ''n × n'' obtida apilando as matrices fila ''L''<sub>(''j'')</sub> unhas en riba doutras para ''j'' = 1, ..., ''n'' (isto dános a matriz adxunta de ''A''). Xa ensinamos que ''L''<sub>(''j'')</sub>''A'' = (0 ... 0 det(''A'') 0 ... 0) onde det(''A'') aparece na posición ''j'' de aquí segue que ''MA'' = det(''A'')''I<sub>n</sub>''. Logo,<blockquote><math>\frac {1}{\det(A)}M=A^{-1}</math></blockquote>rematando a proba.
| |||