Matriz (matemáticas): Diferenzas entre revisións

Unha '''matriz''' en ''R'' é unaunha colección dobremente indexada de elementos dun [[Anel (álxebra)|anel]] ''R'', é dicir, que os elementos disporanse en ''filas'' e ''columnas e'' que os elementos teñen definidos operacións semellantes a [[suma]] e ao [[Produto (aritmética)|produto]].{{sfn|Lang||||2002|p=503}} A meirande parte deste artigo referirase a ''matrices reais'' ou ''complexas'', é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

A [[multiplicación]] é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número ''k'' calquera por unha matriz m×n''m''×''n'' <math> A </math>, basta multiplicar cada entradaelemento de a<submath>ij A </submath> de A por ''<math> k'' </math>. Así, a matriz resultante <math> B </math>será tamén m×ne''m''×''n'' e b<submath> b_{ij</sub>} = ''k''.a<sub> \cdot a_{ij} </submath>. Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo [[Elemento inverso|inverso]] dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: encanto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "[[Conmutatividade|conmutativa]]", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Se <math> A </math>e <math> B </math>son dúas matrices da mesma orde ''m''×''n'', entón a '''suma''' <math> A + B </math> é a que se obtén ao sumar os elementosmatriz de <math>orde A </math> cos elementos de <math> B </math> que lle corresponden, e a ''m'diferencia'×''n'' <math> A - B </math>é a que se obtén ao restarsumar aosos elementos de <math> A </math> cos elementos de <math> B </math> que lle corresponden., Éé dicir, dadas as matrices <math> A </math>e <math>de B </math>do mesmomesma orde ''m''×''n'', <math> A = (a_{ij}) </math>e <math> B = (b_{ij}) </math>, entón a suma <math> A+B = (a_{ij}+b_{ij}) </math>e a diferencia <math> A-B = (a_{ij}-b_{ij}) </math>.

=== MultiplicaciónProduto de Matricesmatrices ===

AO '''Multiplicación'''produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se '''<math> A''' </math> é unha matriz ''m'' por ×''n'' e ''<math> B'' </math> é unha matriz ''n'' por ×''p'', entón o seu '''produto''' ''<math>C = AB'' </math> é aunha matriz ''m'' por ×''p'' (''m''é liñas<math> ec_{ij} ''p''= columnas)a_{i1}b_{1j} dada+ por:a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj} </math>.

=== Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares ===

# '''ConmutatividadeConmutabilidade''': <math> A+B = B+A </math>

# '''AsociatividadeAsociatibidade''': <math> (A+B)+C = A+(B+C) </math>

# '''DistributividadeDistributibidade respecto a suma de matrices''': <math> c(A+B)=cA+cB </math>

# '''DistributividadeDistributibidade respecto a suma de escalares''':<math> (c+d)A = cA+dA </math>

# <math> 1A = A </math>onde <math> 1 </math>é o elemento neutro do productoproduto do anel ''R'' ao que pertence o escalar.<!-- Combinacións lineais de matrices -->

=== Propiedades dado Multiplicaciónproduto de matrices ===

Se ''A''os eelementos da diagonal son ''B''<math> \inlambda_1 \ldots \lambda_n </math>, defínese <math> \texttt{Mdiag}_{m(\lambda_1 x\ldots n}\lambda_n) </math> ecomo a matriz ''C''diagonal na que <math> \in a_{Mii}_{n x= k}\lambda_i </math> ("distributiva á dereita").