Diferenzas entre revisións de «Base (álxebra linear)»

m
Substitúe a sintaxe de matemática obsoleto segundo mw:Extension:Math/Roadmap
(Recuperando 2 fontes e etiquetando 0 como mortas. #IABot (v2.0beta9))
m (Substitúe a sintaxe de matemática obsoleto segundo mw:Extension:Math/Roadmap)
Nun espazo vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de estender o concepto de [[combinación linear]] finita. Dun lado se se consideran unicamente [[combinación linear|combinacións lineares]] finitas chégase ao concepto de [[base de Hamel]] ou base linear. Pode probarse que todas as bases de Hamel teñen o mesmo número de elementos; este número ou [[Número cardinal|cardinal]] chámase dimensión linear ou dimensión de Hamel. Un conxunto constitúe unha base de Hamel [[se e só se]]:
:<math>B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow </math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \andland \quad \exists x_i \in B_{\rm Ham}: \quad x = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i</math>
 
Nun espazo de dimensión de Hamel finita, pode atoparse só un número finito de [[ortogonal|vectores ortogonais]] dous a dous; en cambio, cando a dimensión de Hamel é infinita, poden introducirse nos [[espazo de Hilbert|espazos de Hilbert]] certas "combinaciones lineares infinitas" en termos de vectores ortogonais. Nun espazo de Hilbert de dimensión infinita dise que un conxunto é unha base de Hilbert ou base ortogonal, se e só se:
:<math>B_{\rm Hil}:\mbox{base de Hilbert} \Rightarrow</math>
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \andland \quad \exists x_i \in B_{Hil} \quad \andland \quad \langle x_i,x_j \rangle = 0 (i \ne j): \quad x = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i x_i</math>
 
Novamente sucede que todas as bases ortogonais teñen o mesmo cardinal, polo que se define o concepto de dimensión de Hilbert como o cardinal de calquera base de Hilbert.
36

edicións