Ecuación de onda: Diferenzas entre revisións

A ecuación de onda elástica en tres dimensións describe a propagación de onda nun medio [[elástico]] [[homoxéneo]] [[Isotropía|isótropo]]. A maioría dos materiais sólidos son elásticos, polo que esa ecuación describe fenómenos tales como [[onda sísmica|ondas sísmicas]] na [[Terra]] ou ondas de [[ultrasón]] usadas para determinar defectos nos materiais. Aínda que sexa linear, esta ecuación ten unha forma máis complexa que as ecuacións dadas arriba, porque debe tomar en conta os movementos lonxitudinais e transversais:

 

 

Onde:

* <math>\lambda</math> e <math>\mu</math> son os supostos [[parámetros de Lamé]] que describen as propiedades elásticas do medio.

* <math>\rho</math> é a densidade,

Nótese que nesta ecuación, a forza e o desprazamento son cantidades [[vector]]iais, sendo esta ecuación coñecida a veces coma a ecuación de onda [[Vector (física)|vectorial]].

 

foi obtida por [[Jean le Rond D'Alembert|d'Alembert]]. A ecuación de onda pode ser escrita dunha forma factorizada:

 

 

Por conseguinte, se ''F'' e ''G'' son funcións arbitrarias, calquera suma da forma

O valor medio é aínda unha función de ''t'', e polo tanto se

 

 

logo

A teoría do valor de fronteira inicial unidimensional pode ampliarse a un número arbitrario de dimensións espaciais. Considérese un dominio ''D'' nun espazo ''x'' de ''m'' dimensións, con fronteira ''B''. Entón a ecuación de onda será satisfeita se ''x'' está en ''D'' e <math>t>0</math>. Na frontera ''B'', a solución ''u'' deberá satisfacer

 

 

onde ''n'' é a normal unitaria a ''B'' que apunta cara a fóra e ''a'' é unha función non negativa definida sobre ''B''. O caso onde ''u'' desaparece en ''B'' é un caso límite cando ''a'' se achega a infinito. As condicións iniciais son

en ''D'', e

 

 

en ''B''.