Espazo localmente compacto

Definición formal

Sexa X un espazo topolóxico. X é chamado localmente compacto, se cada punto <math>x</math> de Fallou a conversión do código (erro de sintaxe): {\displaystyle x } ten unha veciñanza compacta, isto é, existe un conxunto aberto  U e un conxunto compacto K, tal que ${\displaystyle }$

Hai outras definicións comúns: son todas equivalente se X é Hausdorff, mais non o son en xeral:

1. Cada punto x de X ten unha veciñanza compacta.

2. Cada punto x de X ten unha veciñanza compacta aberta.

3. Cada punto x de X ten unha base local de veciñanzas compactas.

A condición (1) é moi empregada xa que é a menos restritiva. As outras son equivalentes a esta cando X é Hausdorff. Esta equivalencia é unha consecuencia de que os subconxuntos compactos dun espazo Hausdorff son pechados, e os pechado dos espazos compactos son compactos.

Exemplos e contraexemplos

Espazos Hausdorff compactos

Todo espazo Hausdorff compacto é tamén localmente compacto. Pódense ver varios exemplos na páxina de espazos compactos. Algúns deles son:

• O intervalo pechado [0,1].
• O conxunto de Cantor.
• O cubo de Hilbert.